De wiskunde achter de Walibi-pas

De prijs van prioriteit
Foto: Dan4th

De pas ingevoerde Speedy Pass van pretpark Walibi – waarbij je met een duurder ticket voorrang krijgt op de attracties – wekt heel wat commotie. Maar kunnen we ook wetenschappelijk voorspellen hoeveel tijd een pretparkganger met prioriteitspasje afsnoept van de minder gefortuneerde bezoeker? Als de helft van de bezoekers een pasje heeft, verdubbelt de wachttijd voor de ‘gewone’ bezoeker, rekent netwerkingenieur Wouter Rogiest (UGent) voor aan de hand van de wachtlijntheorie. ‘Pasjes zijn een probaat middel om de wachttijd voor pasjeshouders te reduceren, maar het nadeel voor klanten zonder pasje is aanzienlijk’, zegt Rogiest.
 
Over de Speedy Pass in Walibi is het laatste woord nog niet gezegd. Het idee van voorkeursbehandeling tegen betaling stoot velen tegen de borst: het druist in tegen hun intuïtieve rechtvaardigheidsgevoel, en het doorbreekt het gevoel van verbondenheid onder pretparkbezoekers. Dat de meest fervente bezoekers kinderen zijn, kan het protest alleen verder aanwakkeren. En het probleem zit dieper: vermindering van de wachttijd van bezoekers met prioriteit gaat ten koste van bezoekers zonder prioriteit, die hun wachttijd onverbiddelijk omhoog zien gaan.
 
Eersteklastickets en VIP-lounges zijn voorbeelden van klassieke voorkeursbehandelingen, onder het goedkeurende oog van treinconducteur en stewardess. Betalen voor beter: een betere bediening, een beter product, een beter zitje. De meer omstreden variant werkt op basis van prioriteit, waarbij een kleinere groep van klanten tijd afsnoept van een grotere groep — wie betaalt, wordt sneller bediend.
 
Walibi is niet het eerste pretpark dat een prioriteitsysteem invoert. In de zomer van 2011 deed Six Flags White Water (Atlanta) een proefproject met felgroene en -gele polsbandjes met RFID-technologie, de zogenaamde Flash Pass. Wie ze draagt, heeft aan alle attracties voorrang op de klanten zonder bandje. Het bleek een groot commercieel succes, en in de loop van 2012 werd het systeem uitgerold in de andere parken in de Verenigde Staten. België kon niet achterblijven.
 
Wachten geblazen
Zoals verwacht gaat de prioriteit van de ene ten koste van de wachttijd van de andere. Maar kunnen we dit ook in detail voorspellen? Hiervoor komt een model uit de wachtlijntheorie van pas, een wiskundige theorie die de wachttijd van klanten in een wachtlijn voorspelt, en ook toepasbaar is op de rij van bezoekers aan een attractie.
 
Daarvoor maken we gebruik van het prioriteitsmodel van J.W. Cohen, uit zijn standaardwerk The Single Server Queue. Het zijn drie formules die uitgaan van een paar vereenvoudigende veronderstellingen: willekeurige individuele aankomsten van klanten aan de attractie, zonder onderling verband, een vaste bedieningstijd per klant, en een volledige mix van klanten zonder en met pasje. Dit betekent dat klanten toestromen zonder rekening te houden met de precieze lengte van de wachtrij op dat moment. Dat gaat in de praktijk slechts benaderend op, omdat klanten doorgaans minder bereid zijn in de rij te staan naarmate ze een langere rij aantreffen. Het model houdt bovendien geen rekening met de eigenheid van elke attractie (zoals bijvoorbeeld het aantal klanten dat in groep moet instappen). Door die vereenvoudigingen zijn de formules alleen bij benadering van toepassing op specifieke attracties, maar in de praktijk blijken ze wel een heel goede inschatting te geven.
 
 

Formules voor de gemiddelde wachttijden van klanten aan een attractie.
 
 
De eerste formule levert de gemiddelde wachttijd van een willekeurige klant, in een systeem dat werkt zonder pasje, W0. De tweede en derde formule gelden in een systeem met pasje, en leveren de gemiddelde wachttijd van een klant mét (W1) en een klant zonder pasje (W2). In de formules komen drie variabelen voor.
 
·       a, 0<a<1, de fractie van bezoekers met een pasje, bijv. 0,10 als 1 op de 10 een pasje heeft.
·       r, 0≤r<1, de bezettingsgraad van de attractie, bijv. 0,95 voor een attractie die 95% van de tijd gebruikt wordt.
·       S, S>0, de vaste bedieningstijd per klant, bijv. 6 seconden, voor een attractie die om de drie minuten 30 bezoekers bedient.
 

Naarmate meer klanten met voorrangspasje aanwezig zijn aan een attractie, neemt de wachttijd van klanten zonder prioriteit steeds sterker toe.
 
Als je deze formules toepast krijg je bovenstaande curve, die de wachttijd van klanten zonder pasje (W2) vergelijkt met die in een systeem zonder pasjes (dus voor de invoering, W0), voor een bezettingsgraad van 95% (r=0,95). Wat al snel duidelijk wordt: de wachttijd van klanten zonder pasje neemt steil toe naarmate meer bezoekers over een pasje beschikken. Die wachttijd loopt sneller dan evenredig op: 10% als 1 op 10 zo'n pasje heeft, maar 46% bij 1 op de 3 met pasje, en 90% als de helft een pasje heeft. Een half uur aanschuiven wordt in dat laatste scenario dus bijna een uur. Deze wetmatigheid geldt ook voor attracties met minder of meer populariteit (met een lagere of hogere bezettingsgraad): als de helft over een pasje beschikt (a=0,50), ondervinden klanten zonder pasje een toename tot 67% bij minder populaire attracties (r=0,80), en een verdubbeling (99%) bij de populairste attracties (r=0.995). Niet bepaald een rooskleurig beeld.
 
Amper wachten met pasje 
De wachttijden van klanten met pasje worden daarentegen sterk verminderd: zolang de minderheid over een pasje beschikt (a<0,50), bedraagt de vermindering minstens 67% voor de voldoende populaire attracties (r>0,80). Pasjes zijn dus wel degelijk een probaat middel om de wachttijd te reduceren, maar het nadeel voor klanten zonder pasje is aanzienlijk. Aan de minder populaire attracties is de vermindering minder spectaculair, maar dat maakt voor de bezoekers met pasje weinig verschil, want er moet aan die attracties überhaupt niet veel gewacht worden.
 
Klanten met prioriteit moeten dus amper nog wachten, ten koste van klanten zonder prioriteit. Als het aandeel van klanten met prioriteit beperkt blijft (bijvoorbeeld 10%), dan is dit niet meteen een probleem voor de ‘gewone’ bezoekers.
 
Toch zijn er redenen tot bezorgdheid. Het pretpark heeft het aandeel van klanten met pasje wel in de hand aan de ingang (onder meer door een voldoend hoge prijszetting), maar niet aan de individuele attracties. We kunnen verwachten dat pasjeshouders vooral naar de populaire attracties zullen stappen, waar ze het meeste voordeel halen van hun pasje. Als het voor hen bovendien mogelijk is de attractie meermaals kort na mekaar te doen, dan is het mogelijk dat zij aan die attractie meer dan 50% van het bezoekersaantal zullen uitmaken. In die gevallen zal een klant zonder pasje zich niet eens in de buurt van die attractie wagen, en is het hek helemaal van de dam.
 
Je kunt er vanzelfsprekend altijd voor kiezen om niet meer te betalen dan strikt nodig, maar dat zul je geweten hebben.
 
Andere sectoren
De Walibi-pas is een voorbeeld uit de recreatieve sector, maar het principe wordt ook op nieuwe terreinen toegepast. In oktober 2011 besliste het Georgia Departement of Transportation dat automobilisten op de Interstate snelweg I-85 in Giorgia, na aankoop van een Peach Pass van 75 euro per maand bij dagelijks gebruik, een apart rijvak kunnen gebruiken. Dit ging ten koste van een zogenaamde ‘Carpool Lane’. Van de ene dag op de andere werden alle wagens met twee of meer inzittenden in het algemene verkeer gedwongen, ten voordele van zij die betaalden.
 
Degene die als reactie op de Speedy Pass ‘straks een betalend vak op de E40’ als grap op Twitter postte, zat er dus niet zo ver naast. Al lijken België of Nederland nog niet meteen klaar voor een dergelijk plan, de Speedy Pass van Walibi heeft de discussie alvast op gang gebracht.
 
Volg het wetenschapsnieuws van Eos ook op Facebook, Twitter of via onze nieuwsbrief.


Reacties

Ik mis ergens toch de keerzijde: ook zij moeten immers aanschuiven… Was het niet interessant geweest om naast het verlies voor de “gewone” klanten ook te berekenen wat de wachttijd is voor de Speedy Pass-gebruikers? Ik vermoed dat die wachttijd (in het begin) verhoudingsgewijs veel sneller toeneemt? En dat als zij de meerderheid beginnen uitmaken, de gewone klanten weliswaar helemaal niet aan bod komen, maar de Speedy Pass-klanten zeer ontevreden zullen zijn dat zij ook niet meer sneller vooruit komen… Wat Walibi dan weer zal verplichten tot een reactie. Kortom, dit systeem is maar interessant zolang er relatief weinigen ervan gebruik maken, en dan is de impact op de anderen niet zo groot.

Even overschakelen naar die andere wachtrij…

Nu het er waarschijnlijk inzit dat onhoffelijk gedrag bij het ritsen beboet zal worden met 110 euro, hoor je weer de grootste nonsens verkopen op allerlei forums. De “welopgevoede” landgenoot probeert zogezegd zo vroeg mogelijk de versmalde rijstrook te vervoegen, terwijl de “profiteur” eerst nog tot op het einde rijdt en zo veel mogelijk wagens inhaalt om dan pas in te voegen.

Mijn buikgevoel zegt me dat beide stroken maximaal benut dienen te worden en dat er maar één geschikte plaats is om te ritsen, ter hoogte van de wegversmalling. Noem me een profiteur, maar is dit gedrag (zowel het ene als het andere) kwantificeerbaar? Het lijkt me geen slecht idee om dat eens in de verf te zetten.

Uw buikgevoel heeft het volledig bij het rechte eind: hoewel in het geval dat veel mensen zeer vroeg inschuiven, de enkeling die doorrijdt veel winst doet, is het voor het geheel der automobilisten het beste dat iedereen zo ver mogelijk doorrijdt, de twee rijstroken gebruikt zolang dat kan en pas helemaal op het einde via mooi ritsen inschuift. Dit is perfect berekenbaar met quasi dezelfde theorieën. Overigens zie je dit gedrag bij ervaren filerijders (de Brusselse ring op spitsuur) en zijn het vooral de speciale files op minder drukke uren waar je mensen veel te vroeg ziet inschuiven. Of nog erger: iemand die aan het tempo van de rechtse file het linkse verkeer ophoudt…

Reageer via Facebook