We leven in een maatschappij die steeds sneller verandert, en waarin steeds meer menselijke taken worden overgenomen door computers. Dus zouden we ons de vraag kunnen stellen of wiskunde nog wel een plaats heeft in zo’n maatschappij, en of we niet ook de taak van de wiskundige kunnen automatiseren.
Het minste wat je daarop kan zeggen is dat wiskunde ook in de toekomst nog dezelfde rol zal spelen die ze eigenlijk altijd al gespeeld heeft. Want voor veel wetenschappers is wiskunde een formele taal, die gebruikt wordt om bevindingen met elkaar te delen. Een formele taal die niet alleen universeel is - iedereen weet waar de Griekse letter pi voor staat - maar ook zeer efficiënt, want om één of andere bizarre reden zijn die abstracte symbolen en wiskundige formules uitstekend geschikt om wetenschappelijke conclusies samen te vatten en te communiceren. Dus ja, zolang de mens aan wetenschap doet, zal wiskunde op zijn minst deze taak vervullen.
Maar wiskunde is uiteraard veel meer dan alleen maar een communicatiemiddel: het is in feite een wetenschap op zich, met eigen vragen, eigen doelen en eigen methodes. Nu wordt ze meestal opgedeeld in twee grote deelgebieden: aan de ene kant heb je de zuivere of fundamentele wiskunde, en aan de andere kant heb je de toegepaste wiskunde. Voor de zuivere wiskundige draait het in essentie rond de esthetiek: voor hem of haar is wiskunde een abstract bouwwerk, waar die heel graag een steentje wil aan bijdragen, door er een nieuwe stelling tegen te zetten. De toegepaste wiskundige ziet het eerder pragmatisch, en vraagt zich of op welke manier die bouwstenen kunnen gebruikt worden in een concrete context.
Want wat een toegepaste wiskundige in feite doet is het ontwikkelen van de modellen en methodes waarmee we vat proberen krijgen op onze complexe realiteit. Heel veel problemen in de exacte wetenschappen (denk aan fysica, chemie & biologie) of de economische en zelfs sociale wetenschappen geven namelijk uiteindelijk aanleiding tot vergelijkingen. Voor de wetenschappers in kwestie zijn die vergelijkingen op zich een soort eindproduct, zeg maar een gebalde conclusie na experiment of observatie. Maar voor de wiskundige zijn ze dan net weer de start van zijn of haar verhaal: want vergelijkingen moeten opgelost worden, en dan liefst van al nog zo snel en efficiënt mogelijk.
En hier is de rol van de computer overduidelijk: het is een trouwe bondgenoot van de toegepaste wiskundige. Want uiteraard hebben we het hier niet over bijvoorbeeld de kwadratische vergelijkingen die we allemaal op school leren oplossen met pen en papier. Het gaat hier over systemen van vergelijkingen die zódanig complex zijn dat we net de combinatie nodig hebben van brute rekenkracht door de computer en ingenieuze wiskundige technieken, om zo samen tot een oplossing te komen.
Of op zijn minst een benadering van die oplossing. Dat klinkt misschien slordig en niet-exact wiskundig, maar denk aan een weersvoorspelling. In essentie is dat ook het resultaat van een wiskundig model en een heleboel berekeningen, maar we weten allemaal dat weerberichten niet altijd even perfect zijn. En net vanuit die optiek zal er altijd nood zijn aan toegepaste wiskundigen: want die modellen en technieken kunnen steeds verbeterd worden. Bovendien, in een maatschappij die steeds sneller verandert zullen er ook steeds nieuwe problemen opduiken – dat werd met de doorbraak van het corona-virus pijnlijk duidelijk – die dan ook moeten gemodelleerd worden.
Rest ons natuurlijk de vraag: wat dan met de fundamentele wiskunde, en wat kunnen computers daar betekenen? Eerst en vooral heb je daar het klassieke argument dat heel veel toepassingen hun oorsprong vinden in een fundamenteel concept dat werd bedacht door een zuivere wiskundige die absoluut geen toepassingen voor ogen had. Vaak gaat het zelfs over een theorie die ontwikkeld werd in een tijdperk waarin er van die toepassing simpelweg nog geen sprake was. Denk bijvoorbeeld aan de complexe getallen, die fameuze vierkantswortels uit negatieve getallen. Voor veel mensen misschien een vage herinnering aan een schoolse nachtmerrie, maar zonder die complexe getallen is het in essentie onmogelijk om een foto op Instagram met een filter te bewerken. Of denk aan de zogenaamde elliptische krommen: dat zijn wiskundige objecten die leven in het abstracte universum waar algebra en meetkunde elkaar ontmoeten. Maar ze spelen een cruciale rol in de cryptografie, en zorgen er dus voor dat u op een veilige manier internet-transacties kan uitvoeren.
En alleen al daarom is het belangrijk is dat we de zuivere wiskunde ook in de toekomst een cruciale rol láten spelen: we moeten toestaan dat onderzoekers de grenzen van onze fundamentele kennis kunnen aftasten – en dan hopelijk ook verleggen – met een soort van artistieke vrijheid, zonder commerciële druk als het ware. Want je weet nooit op voorhand wanneer een fundamenteel concept zal reïncarneren als dé oplossing voor een concreet probleem.
Nu zou je kunnen zeggen ‘Ok, we laten de zuivere wiskundigen timmeren aan de weg'. Maar misschien komt er wel een dag dat één of andere wiskundige vol trots zal aankondigen: beste collega’s, het is zover, de wiskunde is compleet, we hebben nu voor alle wiskundige stellingen een bewijs gevonden.
Om te beginnen: àls dat stukje effectief bestaat, dan zal dat niet voor de nabije toekomst zijn. Er zijn namelijk nog veel zogenaamde open problemen, waarvoor we nog steeds geen sluitend antwoord hebben. De meeste van die problemen zijn bijzonder technisch en complex, maar het zogenaamde vermoeden van Goldbach is een eenvoudig voorbeeld.
Dat vermoeden zegt dat elk even getal (groter dan twee, da’s een kleine uitzondering) kan geschreven worden als een som van 2 priemgetallen. Neem je favoriete even getal – in mijn geval is dat bijvoorbeeld 42 – dan kan dat geschreven worden als de som van 2 priemgetallen: zo is 42 = 23 + 19. Met de computer heeft men dit geverifieerd voor even getallen voorbij een triljoen, dat zijn dus getallen met 18 cijfers, maar is er nog steeds geen enkele uitzondering gevonden. Alleen is dat géén bewijs, het sterkt alleen onze overtuiging dat het vermoeden wel eens correct zou kunnen zijn. Maar zolang niemand een sluitende logische verklaring vindt, is en blijft het een vermoeden.
In het geval van het vermoeden van Goldbach kan een computer ons dus in feite niet helpen, omdat die geen formeel bewijs kan leveren, maar dat betekent niet dat de computer niet voor doorbraken kán zorgen in de zuivere wiskunde. Zo zijn er best wel een aantal wiskundige vermoedens die we met theoretisch denkwerk herleid hebben tot het controleren van ‘een eindige lijst gevallen’. In principe moet men dus gewoon die gevallen controleren, een taak waarbij de computer ons zeker kan helpen, en aan het eind van die controle kunnen we dan voor eens en altijd concluderen of het vermoeden waar is, of niet. En dan denk je waarschijnlijk: waar wachten jullie nog op? Wel, ik noem het ‘een eindige lijst’, maar dat is een eufemisme: het gaat hierbij meestal over een gigantisch aantal mogelijkheden, waardoor de controle van die lijst zelfs voor de huidige computers onbegonnen werk is. Die zou bijna letterlijk tot het einde der tijden moeten rekenen. En hier ontstaat dus een boeiende race: aan de ene kant heb je de ingenieurs, fysici en computerwetenschappers die de rekenkracht van computers proberen optimaliseren (al dan niet met supercomputers of zelfs quantum-computers), en aan de andere kant heb je de zuivere wiskundigen die dan maar proberen om het lijstje te negeren en een andere techniek zoeken.
Maar los van deze technische kwestie, namelijk de rekenkracht van computers, zijn er ook 2 principiële kwesties die ik wil toelichten. Om te beginnen heb je de zogenaamde onvolledigheidsstelling van Gödel, die exact doet wat ze aankondigt: Gödel heeft namelijk aangetoond, in een strak omlijnd logisch kader, dat de wiskunde nooit compleet kán zijn. Dus er komt simpelweg geen dag waarop we kunnen claimen dat we voor alle ware wiskundige stellingen een bewijs hebben. Dit is op zijn minst een bizar resultaat: de stelling van Gödel is namelijk een wiskundige stelling wiskunde die iets zegt óver de wiskunde – zoals de slang die in haar eigen staart bijt. De details van die stelling zijn uiteraard bijzonder complex, maar het principe achter de redenering van Gödel is heel eenvoudig: zelf-referentie. Da’s een algemeen principe, dat ook opduikt in bijvoorbeeld humor, filosofie en taalkunde. Maar het is meestal i een destructief principe, omdat het vaak leidt tot paradoxen en absurde situaties. Denk aan de uitspraak ‘deze zin is vals’: als die uitspraak waar is, dan zegt ze van zichzelf dat ze vals is. Maar als de uitspraak vals is, dan wordt het een ware uitspraak. Da’s dus een paradox. Het geniale aan de stelling van Gödel is dat het geen paradox is: integendeel, hij heeft de kracht van zelf-referentie gebruikt om één van de meest verbluffende stellingen in de geschiedenis van de wiskunde te bewijzen: wiskunde die van zichzelf aantoont dat ze nooit compleet kan zijn.
Minstens even fascinerend is het werk van Alan Turing, die je misschien kent van de film ‘the Imitation Game’, en de mensen die hebben voortgebouwd op zijn theorie. Die hebben namelijk aangetoond dat er altijd wiskundige problemen zullen bestaan die je nooit zal kunnen oplossen met een machine die gebruik maakt van een algoritme – zeg maar een computer. Voor alle duidelijkheid: dit heeft absoluut niets te maken met een gebrek aan rekenkracht, het is echt wel een principiële kwestie. Wij, mensen, hebben met ons brein wiskundige problemen kunnen verzinnen die zodanig complex zijn dat ze voor eens en altijd buiten de actieradius van computers zullen vallen.
Dus kort samengevat, computers zullen uiteraard een rol spelen in de wiskunde: voor toegepaste wiskundigen zijn het sowieso bondgenoten, en als we de rekenkracht omhoog krijgen kunnen ze zelfs in de zuivere wiskunde tot doorbraken leiden. Maar tegelijk hebben we op de meest elegante manier die er bestaat – de wiskundige manier – aangetoond dat ze nooit alle problemen van een wiskundige zullen kunnen oplossen.
Dus ja, wiskunde overbodig? Ik denk het niet.
Deze blog is gebaseerd op de voordracht die David Eelbode gaf op de Brainwash Talks van deBuren
https://www.human.nl/brainwash/kijk/overzicht/brainwash-talks/2020/22-maart.html
