Vijftiende vlakvullende tegel is ook de laatste

In een mozaïek kun je allerlei soorten veelhoeken gebruiken, maar kunstenaars kiezen meestal voor een vast patroon of symmetrie. Enkel driehoeken, bijvoorbeeld, of afwisselend vijfhoeken en zeshoeken – dat laatste patroon vinden we ook terug op een voetbal. Van drie- en vierhoeken is geweten dat je met één en hetzelfde exemplaar een vlak volledig kunt opvullen – er blijft geen spatje ruimte tussen de tegels over. Dat werd al aangetoond in 1918 door de Duitse wiskundige Karl Reinhardt, die tegelijk bewees dat er slechts drie zeshoeken waarmee dit lukt, en geen enkele zevenhoek.

Het vraagstuk van de ‘vlakvullende’ vijfhoek bleef open. Om de zoveel tijd kon een wiskundige een welbepaalde vijfhoek vinden, waardoor het lijstje gestaag aangroeide. In 2015 sprong de teller op 15 – tussen nummer 14 en 15 zat liefst dertig jaar. De vraag twee jaar geleden was of het lijstje daarmee compleet was. Ja, zo blijkt nu uit het werk van Michaël Rao, een Franse wiskundige.

Rao schreef een programma waarmee hij alle mogelijk vlakvullende vijfhoeken kon genereren – daarmee bewees hij meteen dat dit aantal eindig is. Hij kwam uit op 371 ‘families’ van kandidaten, waarvan er uiteindelijk 19 overbleven. Even dacht de wiskundige vier nieuwe vlakvullende vijfhoeken te hebben ontdekt, maar bij nader inzien bleken deze vier exemplaren speciale varianten te zijn van de bestaande vijftien vijfhoeken.

De vijftien vijfhoeken vullen het tweedimensionale, ‘platte’ vlak allemaal periodiek. Het is niet bekend of er ook vijfhoeken bestaan die dit op een aperiodieke manier doen.