De wet van Stigler en de complexe getallen

De bovengenoemde foltering voor Cardano vond plaats in een tussenberekening voor het oplossen van een derdegraadsvergelijking, zoals $x^3=15x+4$ een typische vergelijking die opduikt in vraagstukken rond volumeberekening. Cardano bleek $\sqrt{-121}$ nodig te hebben, m.a.w. een oplossing van de vergelijking $x^2+121=0$, zoals je kan zien aan de formule van Cardano voor dit geval: $(p,q>0)$
$$ x^3 = p x + q \ \ \mbox{dan} \ \ \ x=\sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}$$ 
die in dit geval geeft: $$ x=\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}.$$In een tijd dat een negatief getal al moeilijk te verteren was, kon het trekken van de vierkantswortel hiervan alleen maar kortsluiting veroorzaken. Tot dan stelden de wiskundigen dat $x^2+121=0$ simpelweg een onmogelijke vergelijking was en geen oplossing had. Een goede ingesteldheid zou je kunnen opperen, laat de onmogelijke vergelijkingen wat ze zijn en zoek de problemen niet op. Maar het vreemde aan het probleem van Cardano was dat zijn oorspronkelijke derdegraadsvergelijking wel een reële oplossing had, namelijk $x=4$, maar dat hij in zijn methode verplicht was om met “niet-bestaande” (imaginaire) getallen te rekenen, zoals $\sqrt{-121}$. Cardano kon bijvoorbeeld zeggen dat $x^2+150=29$ omdat $x^2+121=0$, maar hij begreep zelf niet wat hij deed want $x$ bestond niet. Het feit dat de bovenstaande formule om een derdegraadsvergelijking op te lossen nog altijd de formule van Cardano wordt genoemd, is een mooie illustratie van de wet van Stigler. Deze formule werd inderdaad voor het eerst gepubliceerd in 1545 door Cardano in zijn Algebraboek Ars Magna, maar Cardano had de formule geleerd van Tartaglia, en daarvoor was de formule waarschijnlijk al gekend door Ferro.

Waarschijnlijk beschouwde Cardano het gebruik van imaginaire wortels van negatieve getallen als een schoonheidsfoutje van de methode zelf en vermoedde hij dat later iemand een propere methode zou ontdekken om de reële oplossingen van een derdegraadsvergelijking te berekenen. Maar in 1843 heeft Pierre Wantzel bewezen dat voor vele derdegraadsvergelijkingen er geen formule kan bestaan die de reële oplossingen berekent zonder daarbij vierkantwortels van negatieve getallen te ontmoeten (de zogeheten casus irreducibilis). Dus de complexe getallen bleken geen tussenoplossing, en bij wiskundigen evolueerde het aanvaarden van het noodzakelijk kwaad tot het omarmen van het beste wat hen ooit overkomen is. Illustratief is de volgende uitspraak, die in de mond van de Franse wiskundige Jacques Hadamard (1865 – 1963) gelegd wordt:

Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe.

Maar de wet van Stigler is niet in het minst van toepassing op citaten, deze uitspraak zou eerder op naam van Paul Painlevé moeten staan...

Maar eigenlijk hebben we tot hiertoe nog niet uitgelegd wat complexe getallen zijn. De kiem voor deze nieuwe getallen is de imaginaire eenheid i, die ingevoerd wordt als een oplossing van de vergelijking $x^2+1=0$. Omdat deze vergelijking geen oplossing heeft op de reële getallenas, kunnen we $i$ niet voorstellen op deze as. Dus $i^2=-1$. Als we op dit nieuwe getal de gekende rekenregels toepassen dan heeft $x^2+1=0$ meteen ook een tweede oplossing vermits  $(-i)^2=i^2=-1$. We hebben dus twee vierkantswortels van $-1$ ingevoerd: $\sqrt{-1}=\pm i$. Meer blijkt er niet nodig om alle vierkantswortels van negatieve getallen te kunnen berekenen, namelijk als veelvouden van de imaginaire eenheid, bijvoorbeeld $\sqrt{-9}=\pm 3i$ want $(\pm 3i)^2 = 9 i^2 = -9$.

Bovendien, wanneer we deze nieuwe imaginaire getallen optellen bij de “oude” reële getallen dan krijgen we mengvormen zoals $5-3i, 1+i$, enz., en dit alles worden complexe getallen genoemd. Een complex getal $z=a+b i$ mag dan virtueel overkomen, het bestaat wel uit twee reële componenten: $a$ (het reële deel van $z$) en $b$ (het imaginaire deel van $z$). De reële getallen zijn dus speciale complexe getallen met een imaginair gedeelte gelijk aan 0, en de hierboven genoemde wortels van negatieve getallen zijn complexe getallen met reëel gedeelte gelijk aan 0.

Complexe getallen voegen dus een imaginaire component toe bij de bestaande getallen, en deze kunnen we ons voorstellen als een extra dimensie bij de reële getallenas. Dit brengt ons tot de visualisering van complexe getallen in het complexe vlak:

Deze meetkundige voorstelling werd vooral populair sinds de grote wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855) het gebruik ervan verspreidde. Meteen kwamen complexe getallen uit de taboesfeer. Inderdaad, zodra mensen zich iets (visueel) kunnen voorstellen, dan bestaat het ook echt. Tot op de dag van vandaag passen we hier de wet van Stigler toe en noemen we deze voorstelling van complexe getallen het vlak van Gauss, terwijl deze meetkundige voorstelling al eerder gebruikt werd door wiskundigen zoals Wessel en Argand.                                

Meetkundige constructies en goniometrische formules bleken plots veel eenvoudiger dankzij het complexe product. Een schoolvoorbeeld hiervan is de formule van De Moivre: $$\cos n\theta + i \sin n\theta = (\cos \theta + i \sin \theta)^n.$$Nochtans schreef Abraham De Moivre (1667 - 1754) dat zijn vriend Newton in zijn berekeningen (1676) deze formule al gebruikt had, maar de wet van Stigler liet zich hierdoor niet hinderen. Anderzijds kreeg Newton van de geschiedenis de verdienste voor het binomium van Newton, terwijl deze formule dan weer al lang door de Arabieren gekend was.

Ook fysici en ingenieurs maakten dankbaar gebruik van complexe getallen in berekeningen voor golven en trillingen, of elektrische netwerken. Maar al bij al worden de complexe getallen toch het meest bemind in het gebied waar ze het eerst opdoken, namelijk de algebra. Ze geven immers een volmaakt en volledig kader voor alle algebraïsche bewerkingen: som, verschil, product, deling, machten en wortels. Enkel door $i$ te introduceren (als een vierkantswortel van $-1$), kunnen we nu alle vierkantswortels uit negatieve getallen berekenen en ook alle hogere wortels. Bovendien krijgen we cadeau dat iedere veeltermvergelijking oplossingen heeft als complexe getallen, zelfs als we de complexe getallen als coëfficiënten mogen kiezen, terwijl we enkel de oplossing van $x^2+1=0$ toegevoegd hebben. Dit is de hoofdstelling van de Algebra. Bijvoorbeeld de vergelijking $x^2-2x+2$ heeft geen reële oplossingen wegens een negatieve discriminant. Maar je kan uitrekenen dat $(1+i)^2-2(1+i)+2=0$. Als we onze reële getallenas verlaten en onze getallen verrijken met een imaginair gedeelte, vinden we dus wel een oplossing, namelijk $1+i$. De andere oplossing van deze vergelijking wordt gegeven door$1-i$. De hoofdstelling van de Algebra wordt als gevolg van de wet van Stigler meestal toegewezen aan d’Alembert, hoewel zijn bewijs in 1746 onvolledig was. Het eerste volledig foutloze bewijs is waarschijnlijk van de hand van Argand, al leren vele wiskundestudenten dit als het bewijs van Cauchy (die het als eerste publiceerde in een tekstboek, weliswaar zonder bronvermelding).

Het succesverhaal van de complexe getallen dat met de afschuw van Cardano begon, toen hij met imaginaire wortels moest rekenen, laat ons onwillekeurig denken aan het lelijke eendje, een sprookje van Hans Christian Andersen (of was het idee van de metamorfose naar een zwaan door iemand anders bedacht?).

De wet van Stigler verkondigt dat een uitvinding, een formule of een principe meestal naar de verkeerde persoon vernoemd wordt, dus niet naar de ontdekker. De wet van Stigler is bijvoorbeeld van toepassing op de Stelling van Pythagoras, maar zeker ook op zichzelf. Soms worden de fouten min of meer hersteld: zo is het Reynoldsgetal uit de fluïdomechanica eigenlijk ingevoerd door George Stokes, en de stelling van Stokes is in feite van de hand van Lord Kelvin. Zelden wordt er echt ruzie gemaakt over prioriteiten, maar indien het wel gebeurt, dan hebben we het geweten: denk maar aan de strijd tussen de twee reuzen Newton en Leibniz.

Vooral in de geschiedenis van de complexe getallen heeft Stigler’s wet ferm huisgehouden, en misschien weten we wel zoveel over het ontstaan ervan omdat er nogal wat geruzied werd in die periode. 
Het complexe getal was ei zo na een doodgeboren kind, door zijn ontdekker verworpen zoals het monster van Victor Frankenstein door zijn schepper. Gerolamo Cardano (1501-1576) ontdekte complexe getallen toen hij als tussenstap in zijn berekeningen de vierkantswortel van een negatief getal nodig had. Hij zag dit als een mentale foltering (sic), maar door koppig door te rekenen kwam hij toch op de juiste eindoplossing.

Maar eigenlijk is het correcter om Rafael Bombelli als de vader van de complexe getallen te bestempelen, omdat Bombelli ze daadwerkelijk als getallen ten tonele gebracht heeft (in een serie van drie boeken, tussen 1572 en 1579), die recht hebben op een optelling en een vermenigvuldiging, en geen lelijke imaginaire constructie zoals aanzien door Cardano en andere tijdgenoten.