De zomer van de vijfhoeken

De zomer van 2017 was een mijlpaal voor binnenhuisarchitecten, tegelzetters, tegelsnijders en creatieve doe-het-zelvers. De wiskundige Michaël Rao (École Normale Supérieure de Lyon ) heeft met behulp van zijn computer een resultaat bewezen dat een antwoord geeft op een vraag dat in het oude Griekenland of zelfs nog eerder gesteld werd:

Welke (convexe) veelhoeken kunnen als vorm optreden van een tegel die het vlak mooi bedekt (geen open plekken, geen overlappingen tenzij hoekpunten of hele zijden)?

Sinds deze zomer weten we dat er juist 15 convexe vijfhoekige vormen bestaan voor een 1-tegel-patroon om een vlakke ondergrond te bedekken. Bewonder hieronder de volledige lijst:

Het resultaat van Rao betreft monohedrale betegelingen,  waarbij er maar één tegelvorm (of prototile) mag gebruikt worden. Bovendien beperkt hij zich tot convexe vijfhoeken, wat betekent dat de diagonalen altijd binnen de veelhoek liggen.

Als je het vlak wil betegelen met een enkele prototile die de vorm van een regelmatige veelhoek heeft, dan wisten de oude Grieken al dat je slechts keuze hebt tussen 3 opties:

Merk op dat de lijst hierboven met de 15 convexe vijfhoeken voor een monohedrale betegeling geen regelmatige vijfhoek bevat, want dit lukt niet. Het is al lang geweten dat iedere willekeurige driehoek of vierhoek (zelfs niet-convex) als enkele prototile het vlak kan betegelen. De convexe zeshoeken die het vlak monohedraal betegelen waren al sinds 1918 gekend: Karl Reinhardt bewees in zijn doctoraat dat er maar drie mogelijke convexe zeshoekige prototiles bestaan (waaronder de regelmatige zeshoek). De eerste 5 in de volledige lijst van convexe vijfhoekige prototiles werden ook beschreven door Karl Reinhardt. Geleidelijk aan werd deze lijst van vijfhoeken aangevuld, met de ontdekking van de vijftiende tegel nog maar recent in 2015 door Casey Mann. Sinds afgelopen zomer is het duidelijk dat we niet meer verder moeten zoeken naar convexe vijfhoeken die op hun eentje het vlak betegelen. Naar eigen zeggen was Mann met zijn computer ook dicht bij een bewijs, maar hij werd dus op de meet geklopt door Rao (nog niet gepubliceerd, maar wel al uitvoerig gecontroleerd). Bovendien is het al lang bewezen dat een convexe veelhoek die het vlak betegelt hoogstens zes hoekpunten kan hebben. Door het resultaat van Rao kennen we nu dus alle convexe veelhoeken die voor een monohedrale betegeling kunnen gebruikt worden.

We hebben dan wel deze ene zoektocht afgevinkt, het verhaal van de betegeling is verre van rond. Over niet-convexe tegels moet nog veel verteld worden. Een haalbare wiskundige analyse beperkt zich meestal tot veelhoekige tegels, maar uit het grafisch werk zoals dat van M.C. Escher leren we dat de vorm van tegels heel ingewikkeld kan zijn, zelfs indien je maar 1 tegelvorm gebruikt:

De studie van betegelingen wordt ook boeiender (en mooier) wanneer we meerdere prototiles in ons legpatroon gebruiken. Mooie voorbeelden vinden we bijvoorbeeld in de Arabische versieringen van de Alhambra  in Granada:

Johannes Kepler (1571 – 1630) was misschien de eerste die patronen met meerdere prototypes systematisch bestudeerde:

In 1987 gaven Grünbaum en Shephard hun intussen legendarische tekstboek uit, dat dit onderwerp definitief als deeldiscipline binnen de wiskunde op de kaart zette.

Voor het gemak van de tegelzetter kiezen we voor de gegeven prototiles bijna uitsluitend een periodiek legpatroon. Dit betekent dat het patroon zich zowel in een zijwaartse als een opwaartse verplaatsing herhaalt. Je kan de periodieke herhaling in horizontale en verticale richting duidelijk opmerken in de Griekse monohedrale patronen met regelmatige veelhoeken, maar ook in het Kepler-patroon of het werk van Escher hierboven. In een periodieke betegeling hoeven de twee richtingen waarin het patroon zich herhaalt niet loodrecht op elkaar te staan:

Dit niet-periodiek patroon is echter een vrijwillig fantasietje van de vloerder, want met deze tegel kan je ook voor een gemakkelijker patroon kiezen. Lange tijd dachten wiskundigen dat iedere eindige verzameling van prototiles waarmee het vlak kon betegeld worden ook een periodiek patroon toeliet. Tot Robert Berger in 1964 een a-periodieke verzameling prototiles vond waarvoor geen periodiek legpatroon bestond. Dit eerste tegenvoorbeeld bestond evenwel uit 20426 prototiles, maar de daaropvolgende jaren werden andere a-periodieke sets met steeds minder prototiles gevonden. Het meest beroemde voorbeeld is wellicht de ontdekking van Penrose (1973) bestaande uit slechts 2 tegelvormen, een ruit en een parallellogram, die wel het vlak kunnen betegelen, maar dit nooit op een manier waarbij in een onbegrensd gebied periodieke herhalingen optreden.

Elf jaar na zijn ontdekking, toen elektronenmicroscopen voldoende ontwikkeld waren, werd ditzelfde Penrose-patroon herkend in de pseudo-symmetrie van een quasikristal:

De heilige graal voor de tegelwetenschappers is op dit moment de zoektocht naar een enkele a-periodieke prototile, de ein-stein-queeste, een tegelvorm dus die het vlak kan betegelen maar nooit met een periodiek patroon. Op dit moment is het zelfs niet duidelijk of dergelijke tegel bestaat, maar ingewijden denken van wel (voor zover dit iets waard is). Opgelet, in deze ein-stein-queeste zoeken we naar een normale tegel die uit 1 stuk bestaat (samenhangend), want in 2010 vonden Socolar en Taylor al een a-periodieke prototile die uit verschillende stukken bestaat:

In ieder geval, sinds het wereldnieuws van afgelopen zomer weten we dat de begeerde a-periodieke prototile niet convex kan zijn. Het resultaat van de 37-jarige Michaël Rao garandeert dus dat we nu een volledige overzicht hebben van alle monohedrale convexe polygonale prototiles, en deze blijken allemaal een periodiek legpatroon te hebben. Dus, de ein-stein-ridders kunnen zich vanaf nu uitsluitend op concave veelhoeken werpen.