De videoscheidsrechter lag tijdens het afgelopen WK weer meermaals onder vuur. Wiskundigen Rudi Penne en Paul Levrie leggen uit hoe de wiskunde de VAR kan helpen. Door op een groot schaakbord te voetballen, bijvoorbeeld.
Vooreerst een disclaimer. Dit artikel gaat niet over een volautomatisch videosysteem om een geval van buitenspel te detecteren tijdens een voetbalmatch. Dergelijk systeem moet de spelers, de scheidsrechter en de bal zelfstandig (zonder menselijke hulp) detecteren, van elkaar onderscheiden en tracken. Hiermee gewapend zou een automatisch systeem een pas kunnen herkennen, en op het ogenblik dat dit gebeurt de relatieve positie van de spelers (en hun relevante lichaamsdelen) kunnen meten. Uiteindelijk bepaalt dan het verdere spelverloop of een gedetecteerde buitenspelpositie al dan niet bestraft wordt.
Dit artikel behandelt eerder het correct bepalen van de zogenaamde buitenspellijn in een stilstaand beeld voor een gekozen speler, bedoeld als VAR-controle (video-ondersteuning) bij een genomen beslissing door een scheidsrechter van vlees en bloed. We nemen hierbij aan dat het gebruikt beeld stilgelegd is op het exact moment dat de pas gegeven wordt, maar we beseffen dat hier al een eerste kleine fout zit, ongeacht of dit moment automatisch vastgesteld wordt of door een menselijk oog.
Een buitenspellijn is een rechte die door een computer berekend wordt m.b.v. het gegeven beeld, en die ten behoeve van de VAR en de kijkers dikwijls virtueel op het beeld aangebracht wordt. In principe is deze rechte evenwijdig met de middellijn, maar ook evenwijdig met de korte zijden van het rechthoekig veld en met de lange zijden van de strafschopgebieden en doelgebieden, en bovendien loodrecht op de lange veldzijden. Zelfs op een zorgvuldig getekend plan (afbeelding rechts) is dit nooit 100% juist, laat staan voor de belijning op een werkelijk veld. Maar laten we voor het gemak ook van deze onnauwkeurigheid een abstractie maken. Om de relatieve afstand van twee spelers te vergelijken t.o.v. de doellijn worden deze buitenspellijnen meestal door het punt van de voet van een speler getrokken, meer bepaald het punt dat zich het dichtste bij de doellijn bevindt. In een volledig automatisch systeem wordt dit punt automatisch berekend, maar in dit artikel gaan we voor het gemak dit punt manueel selecteren.
Eigenlijk is het vergelijken van de posities van de voetpunten niet helemaal correct volgens de voetbalreglementen. We moeten de uiterste punten van de relevante lichaamsdelen vergelijken. Dit zijn alle lichaamsdelen die reglementair de bal mogen raken. Maar die bevinden zich niet noodzakelijk op de grasmat, zoals bijvoorbeeld hieronder:
Nochtans worden buitenspellijnen per definitie altijd op het veld geconstrueerd. Dus een juiste berekening moet het uiterste punt van de speler eerst loodrecht op het veld projecteren, en de buitenspellijn door dit geprojecteerd punt beschouwen:
Naar het schijnt wordt dit effectief gedaan in het systeem dat door de FIFA gebruikt wordt op het WK. Zie 3D buitenspellijn, waar de nauwkeurigheid van dit systeem gevalideerd wordt. Opgelet, een loodlijn op het echte grasveld is niet noodzakelijk een verticale lijn in het camerabeeld. Laten we op dit ogenblik er van uit gaan dat we in een stilstaand beeld een punt op de grasmat gegeven hebben en dat het onze opdracht is om hierdoor een buitenspellijn te tekenen (in datzelfde beeld).
Op een plattegrond van een voetbalveld is er geen enkel probleem om door een bepaald punt een rechte te tekenen evenwijdig met de middellijn, maar op een camerabeeld is dit een heel ander verhaal. Dit komt natuurlijk omdat een camera (zoals het menselijk oog) de wereld vanuit een puntperspectief bekijkt. Deze perspectieve vervorming heeft bijvoorbeeld als gevolg dat rechten die in de wereld evenwijdig lopen, dat op een foto meestal niet doen en dus (na eventuele verlenging) snijden in een zogeheten vluchtpunt. Er bestaat een wiskundige techniek om de beeldpunten in het cameraperspectief te transformeren naar de correcte positie op de plattegrond (met de juiste geometrische verhoudingen). Deze transformatie wordt berekend in een zogenaamde kalibratieprocedure, en is een onderdeel van het gebied Projectieve Meetkunde, een discipline die in de 16de eeuw ontstaan is onder impuls van de technieken voor perspectieftekenen bij de Renaissance-kunstenaars. Bovendien, omdat een optische lens dikker is dan een wiskundig punt, treden er op een foto ook wel eens lensvervormingen op. Hierdoor gaan rechte lijnen zich krommen in het camerabeeld. Dit fenomeen is het meest manifest in breedhoeklenzen (fisheye).
Soms geeft dit mooie artistieke effecten, maar indien de camera onderdeel is van een meetsysteem of hulpmiddel bij buitenspeldetectie is het vooral hinderlijk. Daarom wordt bij elke buitenspelcamera de aard van deze beeldkromming bepaald zodat ze algoritmisch verwijderd kan worden. We kunnen ons dus vanaf nu focussen op enkel de perspectieve vervorming, die onvermijdelijk is bij iedere beeldvorming. Meer bepaald, we kalibreren de camera zodat we de wiskundige transformatie kennen tussen het perspectieve veld en het onvervormde veld met de juiste afmetingen.
wordt
Misschien is dit het moment om de cameraconfiguratie te bekijken van een WK wedstrijd in Rusland (zie hieronder). We herkennen twee offside camera’s, die het spel niet volgen en altijd voor zich kijken (in principe evenwijdig met de middellijn). Ze kunnen wel naar beneden en naar boven kantelen en soms laat men offside camera’s ook inzoomen (ik weet niet zeker of dit bij het WK voetbal in Rusland het geval was).
Maar dit betekent dat het cameraperspectief tijdens de wedstrijd verandert, en dus ook de projectieve transformatie die dit beeld in zijn juiste geometrie uitstrijkt. Daarom dat vele systemen gebruik maken van de klassieke vluchtpuntmethode. Alle rechten op het veld die evenwijdig zijn met de middellijn, of het nu krijtlijnen zijn of virtuele buitenspellijnen, lopen in een perspectief beeld door eenzelfde punt, het vluchtpunt van deze evenwijdige richting. Dit vluchtpunt is een virtueel punt dat in het beeld kan berekend worden (en meestal buiten beeld ligt). Om dit vluchtpunt voor een willekeurig (stilstaand) beeld te berekenen hebben we minstens twee rechten nodig in dit beeld die op het veld evenwijdig met de middellijn lopen. Meestal is de middellijn zelf in beeld (zie hierboven voor de cameraconfiguratie van de FIFA), en hopelijk ook een lijn van het strafschopgebied, maar meestal gebruikt men de lijnen van de maaistroken, die door de alternerende maairichting de gekende kleurschakering vertonen.
Dit is hierboven gebeurd (m.b.v. de rode lijnen). Zodra we het vluchtpunt kennen, kunnen we dus ook een buitenspellijn tekenen door ieder willekeurig punt op het veld (de gele lijn). Wanneer de camera kantelt of inzoomt moet dit vluchtpunt herrekend worden, maar in principe zijn dit snelle updates. Het hoeft geen betoog dat de berekende locatie van een vluchtpunt heel gevoelig is voor onnauwkeurigheden in de beschouwde rode lijnen. Hoe evenwijdig met de middellijn heeft de dienstdoende maaier de grasstroken getrokken? Zelfs de middellijn is een bron van afwijking omdat de dikte ervan enige speling toelaat. De ligging van de buitenspellijn hangt dan af van de ploeg waarvoor je supportert. Hieronder zie je een betwiste fase uit de match Anderlecht – Club Brugge van maart 2018, waarbij de VAR op basis van onderstaand beeld een doelpunt van Clubspeler Diaby afkeurde omdat hij met een teen voorbij de buitenspellijn stond die ter hoogte van de laatste Anderlechtverdediger getrokken was.
Anderzijds zie je hieronder de buitenspellijn (rode stippellijn) zoals getrokken door een supporter van Club Brugge, op basis van dezelfde lijnen en hetzelfde beeld, met ditmaal een andere beslissing:
1. Wat is het juiste moment waarop het beeld moet worden stilgezet?
2. In welke mate is de beeldkromming weggewerkt?
3. Hoe correct zijn de beschouwde gras- en krijtlijnen? En hoe pluizig komen ze in beeld, met speling tot gevolg in de constructie van het vluchtpunt.
4. Hoe betrouwbaar is de cameraopstelling en de kalibratie voor de interne camera-instellingen, indien we deze gebruiken voor updates in opeenvolgende cameraperspectieven?
5. Hoe pluizig zijn de te vergelijken punten (aanvaller versus verdediger)? Dergelijk punt kan een schoentip zijn, maar evengoed een geprojecteerd hoger lichaamspunt.
Een eerlijk wetenschappelijk buitenspelsysteem zou dus met een foutmarge moeten werken. Geen buitenspellijn dus, maar een buitenspelstrook:
Wanneer de te vergelijken positiepunten (aanvaller-verdediger) binnen deze onzekerheidsmarge vallen, dan is het verschil kleiner dan onze meetfout en mag de VAR geen uitspraak doen. Tenzij er afgesproken wordt om in zulke gevallen het voordeel aan de aanvaller te geven. Merk op dat als we deze foutmarge op het beeld (in pixels) omrekenen tot een foutmarge op het veld (in cm), dat deze dan breder wordt bij toenemende afstand t.o.v. de camera.
Ondanks onze bedenkingen over het construeren van een buitenspellijn op basis van zoiets casual zoals maaistroken, lijken deze soms heel nauwkeurig aangebracht met een erg stabiele maaier. Voor de toepassing van videotechnologie in sportwedstrijden lijkt de kalibratie van het veld (eerder dan die van de camera) ons het ei van Columbus. Zorgvuldig aangebrachte patronen op het veld, eventueel m.b.v. Lidar-technologie, vervangen dan de klassieke kalibratiepatronen:
Camera’s moeten telkens opnieuw gekalibreerd worden, zijn onderhevig aan tribuneschokken en er moet rekening gehouden worden met roteren en zoomen. De lijnen tussen de maaistroken moeten uiteraard ook telkens hernieuwd worden, maar daarom zijn definitieve markers een betere optie, zoals bijvoorbeeld hieronder. Eigenlijk brengen we dan best meteen ook verticale markers aan, bijvoorbeeld op de reclameborden, die bijna altijd in beeld komen. Door de (neerwaarts) gekantelde positie van de camera, verschijnen lijnen loodrecht op de grasmat niet als verticale lijnen in het perspectieve beeld. Ook hier kunnen we een vluchtpunt construeren, zodat we de relevante lichaamsdelen loodrecht op de grasmat kunnen projecteren in het beeld, waardoor we dan de buitenspellijn te tekenen.
De definitieve kalibratiemarkers mogen dus zeker het spel niet verstoren, maar misschien bedenken ingenieurs wel onzichtbare kentekens in het IR of UV spectrum, die wel kunnen gespot worden met een multispectrale camera. We hadden de FIFA voorgesteld om het WK op een rugbyveld te organiseren, wegens de overvloed aan witte lijnen, maar vonden geen gehoor. Op ons voorstel om een voetbalveld in een correct zwart-wit schaakpatroon te verven, hebben we evenmin een antwoord mogen ontvangen.
