Ik herinner me nog goed wanneer ik het licht zag en besliste om wiskunde te studeren. Dit moment van roeping situeerde zich ergens in de maand mei van het laatste jaar SO. Tijdens de lessen Projectieve Meetkunde werd ik van mijn paard gebliksemd door de pure schoonheid van de kegelsneden, en door de sacrale wijze waarop ze in de klassieke oudheid bestudeerd werden door Griekse goden zoals Euclides, Archimedes, Pappos, maar vooral Apollonius.

Voor wie niet op de hoogte is, kegelsneden is de verzamelnaam voor 3 soorten wiskundige krommen. Ellipsen worden meestal getekend m.b.v. 2 brandpunten. Voor elk punt op de ellips is de som van de afstanden tot deze brandpunten hetzelfde, namelijk gelijk aan de grote as (afstand tussen de hoofdtoppen). Voor de punten van een hyperbool is het verschil van de afstanden tot de 2 brandpunten dan weer constant (ook hier gelijk aan de afstand tussen de toppen). 

Dan heb je nog de parabolen die in dit artikel nauwelijks een rol spelen, maar elders glorieus optreden, bijvoorbeeld als projectielbanen, ruimtetelescopen of schotelantennes.

De namen ellips, hyperbool, en parabool hebben we te danken aan Apollonius, die zijn studie over deze krommen rond 225 v.Chr. opschreef in Konika, een van de indrukwekkendste meesterwerken uit de oudheid, een bundeling van 8 manuscripten. Het laatste deel is helaas verloren gegaan, misschien een insteek voor een nieuw Dan Brown-mysterie. Uit Konika leren we ook dat Apollonius meteen het juiste inzicht had om deze krommen in een gemeenschappelijke context te bestuderen, namelijk als verschillende vlakke doorsneden van eenzelfde (circulaire) kegel, vandaar de familienaam kegelsneden. In de figuur zien we dat vanuit het standpunt van een toeschouwer die in de top van de kegel in de richting van de as kijkt, iedere kegelsnede in wezen zich optisch voordoet als een cirkel. We komen hier zo dadelijk op terug. Hieronder ziet u ook een mooi resultaat van een houtbewerker die zich door de kegel van Apollonius liet inspireren. 

Terzijde verwijzen we hier naar de film Agora, waarin we zien hoe Hypatia van Alexandrië gepassioneerd dergelijke houten model voor kegelsneden bestudeert. Hypatia is de eerste vrouwelijke wiskundige waarover we historisch gedocumenteerd zijn. In het jaar 415 werd ze door geradicaliseerde christenen levend gevild en verbrand toen ze wetenschappelijke documenten van de bibliotheek van Alexandrië wilde behoeden tegen verbranding. Dat ze bewust een “huwelijk met de waarheid” verkoos boven een echtgenoot of een god, zal haar ook niet geholpen hebben.

Wanneer ik het internet afschuim met als zoekterm een van de kegelsneden, ontdekt ik telkens wel een nieuwe eigenschap, de bron lijkt onuitputtelijk. Al moet ik toegeven dat ik op mijn leeftijd wel eens dingen vergeet die ik ooit geweten heb, wat het ontdekkingsplezier ten goede komt. Zo heb ik onlangs “ontdekt” dat binnen de grote familie van kegelsneden iedere individuele ellips een bijzondere band heeft met een specifieke hyperbool. Je zou kunnen zeggen dat ze een volmaakt koppel vormen, omdat ze elkaar als een perfecte cirkel zien, twee spirituele ringen dus, die in tegenstelling tot materiële ringen nooit zoek geraken, nooit ergens achter blijven haken of nooit stiekem uitgedaan worden. Hieronder ziet u een voorbeeld van dergelijk perfect koppel: 

De hyperbool is getekend in het vlak loodrecht op het vlak van de ellips en door de grote as. In deze ``innige omhelzing’’ liggen de toppen van de hyperbool in de brandpunten van de ellips, en de hoofdtoppen van de ellips in de brandpunten van de hyperbool. De punten van de hyperbool zijn exact die ruimteposities waaronder de gegeven ellips als cirkel gezien wordt (en visa versa). Voor de kenners: als de vorm van de ellips bepaald wordt door excentriciteit e, dan heeft haar hyperbolische partner excentriciteit 1/e. Je zou dus kunnen zeggen dat de lamp in onderstaande foto zich op de “partnerellips” bevindt van het hyperbolische lichtschijnsel, want ze ziet dit schijnsel doorheen de cirkelvormige opening van de lampenkap. 

Wie wil weten hoe het komt dat dit koppel elkaar effectief als een cirkel ziet, leest best nog wat verder om kennis te maken met de bollen van Dandelin. Ik herinner me niet hierover ooit te hebben gehoord in mijn school- of universiteitsopleiding, en zelf achteraf deze parel opgevist. Nochtans staat dit resultaat in het buitenland bekend als de Belgische Stelling (dus een beetje de Patrasche van de wiskunde). 

Germinal Pierre Dandelin werd in 1794 geboren met een Franse vader en een Belgische moeder. Hij heeft voor de Fransen gevochten onder Napoleon, diende in het Nederlands leger onder prins Bernhard, en stond in 1830 in de frontlinie tijdens de Belgische revolutie. Zijn vriend, de Gentse wetenschapper Adolphe Quételet, waarmee hij samen muziek schreef, erkende zijn wiskundig talent en hielp hem aan interessantere (niet-militaire) jobs, gaande van astronoom en fysicaleraar tot mijningenieur. Dandelin werd vooral onsterfelijk door onderstaand resultaat over bollen en kegelsneden. Waarschijnlijk had Quételet ook een belangrijke invloed in dit resultaat, dat daarom soms de “stelling van de Belgen” genoemd wordt. Als een vlak een kegel snijdt, dan raken de bewuste bollen van Dandelin tegelijkertijd de kegel en het snijdende vlak:

Indien het vlak de kegel in een parabool snijdt, dan is er van slechts 1 simultaan rakende bol sprake. In de volgende figuur zie je zo'n parabool, als de schaduw die afgeworpen wordt door een bol op een vlak. De lichtbron bevindt zich op dezelfde hoogte als het hoogste punt van de bol. De kegel in kwestie heeft de lichtbron als top en is rakend aan de getekende bol. In dit geval is de excentriciteit e=1, en is de partnerkegelsnede dus opnieuw een parabool. Vanuit de punten van deze tweede parabool zie je de rand van de schaduw als een cirkel. En omdat we weten dat dit erg onwaarschijnlijk klinkt, hebben we in de volgende figuur de desbetreffende cirkel erbij getekend.

Bovenstaande vondst van Dandelin gaf een vernieuwd inzicht en elegante bewijzen voor de klassieke resultaten van Apollonius. Inderdaad, de raakpunten van de bollen met het snijvlak zijn juist de brandpunten van de betreffende kegelsnede (en voor de kenners: het vlak door de raakcirkel van een bol ontmoet het snijvlak in de richtlijn van deze kegelsnede). Laten we nu als voorbeeld de ruimtelijke punten vinden van waaruit je een gegeven ellips als een cirkel ziet. Deze toeschouwer bevindt zich dus op de top van een circulaire kegel, met de bewuste ellips als vlakke doorsnede. Het is natuurlijk zo dat de optische cirkelillusie samenvalt met de raakcirkel van bijvoorbeeld de bovenste Dandelin-bol: 

Bovendien moet deze toeschouwer (kegeltop) zich in het vlak gamma bevinden dat loodrecht op het snijvlak staat en door de grote as van de ellips gaat (een oefening voor de gemotiveerde lezer). We kunnen onze redenering nu verderzetten in het vlak gamma met de volgende doorsnede met de kegel en de Dandelin-bol: 

$\sf T$ is de top van de kegel. De raaklijnen vanuit $\sf T$ aan de cirkel snijden de ellips, die we van opzij zien als een lijnstuk, in de toppen $\sf H_1$ en $\sf H_2$. $\sf F_1$ en $\sf F_2$ zijn de brandpunten van de ellips. De cirkel raakt aan de ellips in het brandpunt $\sf F_2$, zegt Dandelin. Merk op dat gelijkgekleurde pijlen op bovenstaande tekening dezelfde lengte hebben ten gevolge van de symmetrie van de cirkel. Dit heeft voor gevolg dat de afstand van $\sf T$ tot $\sf H_1$ min de afstand van $\sf T$ tot $\sf H_2$ gelijk is aan de lengte van de groene pijl min de lengte van de oranje pijl, en dit is precies gelijk aan de afstand tussen de twee brandpunten van de ellips. Als we dus nu de cirkel verkleinen of vergroten op zo'n manier dat hij de ellips blijft raken in $\sf F_2$, en we veronderstellen dat de raaklijnen uit $\sf H_1$ en $\sf H_2$ aan de cirkel elkaar snijden in een punt $\sf T'$: 

dan zal de afstand van $\sf T'$ tot $\sf H_1$ min de afstand van $\sf T'$ tot $\sf H_2$ opnieuw gelijk zijn aan de afstand tussen de twee brandpunten van de ellips. Door de definitie van een hyperbool kunnen we hieruit besluiten dat alle mogelijke $\sf T$'s op een hyperbool gelegen zijn waarvan de brandpunten $\sf H_1$ en $\sf H_2$ zijn. Het is duidelijk dat deze hyperbool door $\sf F_2$ gaat, en de brandpunten van de ellips zijn dan ook de toppen van deze hyperbool.