Recent werd ik geconfronteerd met de vraag van mijn echtgenote naar een nieuwe badkamer. Bij een badkamer horen tegels, en wordt er betegeld, en mijn grote interesse voor wiskundige betegelingen en aanverwanten noopte mij ertoe niet deel te nemen aan de keuze van de tegels en het soort betegeling voor onze nieuwe badkamer. Uiteindelijk werd gekozen voor een rechthoekige tegel (eerder saai dus, het is overigens wel een andere kleur):

en voor een betegeling die de voorkeur geeft aan ononderbroken rechte lijnen:

Tamelijk traditioneel is ook de volgende schikking, die de tegelaar waarschijnlijk iets meer werk bezorgt: 

Ikzelf heb een lichte voorkeur voor de eerste ordening, tenminste als het om vierkante tegels gaat en wel in twee kleuren, zoals je kan zien in deze foto van onze living: 

Maar de tweede komt vaker voor. Dat is duidelijk te zien als je buitenkomt:

Onze blik valt natuurlijk onmiddellijk op het linkse deel van de linkse foto, waar een onwaarschijnlijke originaliteit in het omgaan met rechthoeken aan de dag wordt gelegd. Het heeft wel iets, maar misschien toch beter niet in de badkamer: 

In een van de boeken die ik deze vakantie heb gelezen, stond dit:

You have just been hired to tile a large room (don't worry; we'll give you advice). The owner, however, does not want you to use boring square or rectangular tiles.

Het gaat om het volgende boek, dat eigenlijk over de getallen van 1 tot 9 gaat. Bovenstaande zin kom je tegen in het hoofdstuk over het getal 5. De auteur heeft het o.a. over Johannes Kepler, wiens badkamer er heel anders moet hebben uitgezien: 

Dit is een periodieke vlakverdeling, gevonden door Kepler, die gebruik maakt van regelmatige vijfhoeken, pentagrammen, en samengesmolten regelmatige tienhoeken. Periodiek wil zeggen dat het patroon zich herhaalt. Deze vlakverdeling inspireerde Roger Penrose in de vorige eeuw tot het vinden van niet-periodieke vlakverdelingen. Tot ongeveer 1960 dacht men dat zoiets niet bestond. Dit is er een, met twee soorten tegels, de zogenaamde kites and darts: 

Dit is het boek:

Marc Chamberland, Single Digits. In Praise of Small Numbers. Princeton University Press, New Jersey (2015) 226 pagina's.

Zoals de titel zegt: een boek over de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Het telt dan ook negen hoofdstukken (+ 1 hoofdstuk met oplossingen). Elk hoofdstuk behandelt een aantal items uit de wiskunde waarin het nummer van dat hoofdstuk een prominente rol speelt. De vlakverdelingen van Penrose staan o.a. in hoofdstuk 5 omdat je ze kan vinden door een 5-dimensionale hyperkubus te snijden met een irrationaal tweedimensionaal vlak... Het boek bevat een schat aan informatie, van de wet van Benford (voor het getal 1) tot het vermoeden van Catalan uit 1844, ondertussen (sinds 2002) de stelling van Catalan (die zegt dat 9 de enige macht is die precies een eenheid verschilt van een andere macht). Het boek is niet bestemd voor de wiskundeleek, enige voorkennis is wel noodzakelijk. Er staan dan ook nogal wat formules in. Maar ikzelf heb er weer allerlei interessante zaken mee bijgeleerd.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Indien je minder wiskundig bent aangelegd, en een gelijkaardig boek wil lezen, dan kan ik je dit aanraden:

Ian Stewart, Professor Stewart's Incredible Numbers. Profile Books LTD, London (2015) 342 pagina's.

Zoals we van Ian Stewart gewoon zijn, een leuk boek. Een eerste deel gaat over de kleine getallen, de getallen van 1 tot 10 (en bij 5 vinden we opnieuw Kepler en Penrose terug). Ook 0 en -1 krijgen een hoofdstuk, en de imaginaire eenheid i. Maar daar blijft het niet bij: ook enkel rationale en irrationale getallen passeren de revue. Bijvoorbeeld 466/885 (een getal dat te maken heeft met het probleem van de torens van Hanoi) en ook ζ(3), de constante van Apéry. Dan komen er nog wat kleine gehele getallen aan bod (bijvoorbeeld 17: vlakverdelingen!) en grote gehele getallen zoals het grootste tot nu toe gekende priemgetal. En er is ook een hoofdstuk over oneindig en over ... 42. Aan dit boek heb je ook als wiskundeleek veel meer (dan aan het vorige). Er komen ook wel formules in voor, maar ze zijn niet essentieel. Vooral veel getallen... Vreemd genoeg heeft het boek geen index, en dat is een minpunt. Er is ook een bijhorende app die in 2014 een prijs won voor Beste app.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Dus geen saaie vierkante of rechthoekige tegels meer, op naar andere vormen! En ze bestaan. Soms wordt er ook absoluut niet gedacht aan de persoon die de tegels moet leggen. Let op de parkeerplaatsen op de volgende afbeelding. (Het is ook in het echt zo, maar moeilijk te fotograferen omdat het er altijd vol auto's staat.)

De tegels in dit geval zijn vierhoeken, die niet allemaal dezelfde vorm hebben. Het is me niet voor 100% duidelijk hoeveel verschillende er zijn, maar het lijkt me een lastige klus om ze te leggen. Waarom niet doen zoals in Caïro?

Links een foto van een straat in Caïro, rechts de essentie ervan. Merk op dat het hier gaat om slechts 1 soort tegel, vijfhoekig van vorm. Het is duidelijk dat niet elke vijfhoekige tegel kan gebruikt worden om een straat te betegelen. (Kijk zeker eens hier.) Met een regelmatige vijfhoek lukt het al niet, en de reden hiervoor is dat zo'n vijfhoek hoeken heeft van 108 graden, en je kan die hoeken dus niet combineren om aan 360 graden te geraken. Met driehoeken gaat het wel altijd. Hier zie je een voorbeeld van hoe het moet:

Ook met vierhoeken lukt het steeds, probeer het maar eens. (Zie ook hier.) Vanaf nu zullen we ons steeds beperken tot convexe veelhoeken. Met vijfhoeken lukt het soms. Je kan bijvoorbeeld met de volgende vorm van tegel de straat plavijen:

Dat het hiermee lukt, is nog maar pas bekend. Casey Mann, Jennifer McLoud en David Von Derau van de University of Washington Bothell ontdekten dit in de maand juli. Op dit ogenblik zijn er 15 verschillende (families van) vijfhoeken bekend waarmee je kan betegelen. Een aantal daarvan zijn gevonden door Marjorie Rice, amateur wiskundige en huisvrouw, in 1975. Hoewel het gaat om allemaal tegels van dezelfde vorm, eenvoudig is het betegelen niet. Je kan het een beetje vergelijken met een legpuzzel met allemaal witte stukken. We zetten enkele stappen in de goede richting:

Deze combinatie van drie tegels is een basisbestanddeel van de betegeling, samen met het spiegelbeeld ervan t.o.v. die horizontale lijn. Eens je dat weet gaat het sneller:

enzovoort. Wat zeshoeken betreft: er zijn 3 types zeshoek waarmee je het vlak kan betegelen. Het gaat natuurlijk al perfect met een regelmatige zeshoek, kijk maar naar de bijen. En in het algemeen gaat het voor zeshoeken in een van de volgende drie groepen:

Dit zijn voorbeelden van de drie gevallen:

Met zevenhoeken, achthoeken of andere veelhoeken (convexe welteverstaan) lukt het niet. Enkel in het geval van de vijfhoeken is er nog wat te doen. Terug naar de badkamer. We hadden ook kunnen kiezen voor een versiering in de vorm van een een fries (een band die over de muur loopt):

Dan hebben we het over tegels met een tekening. Daar zijn er natuurlijk oneindig veel verschillende mogelijk, maar ook in dit geval kunnen we een soort classificatie maken, en wel op basis van symmetrieën. Indien we veronderstellen dat we zoals op de foto allemaal gelijke tegels naast elkaar plaatsen, dan krijgen we een patroon dat zich herhaalt in horizontale richting. Op basis van symmetrieën kunnen we de mogelijke friezen dan herleiden tot 7 types, die elk een naam dragen:

De fries op de foto heeft verticale spiegelassen (zo ook de spinning jump), maar er zijn nog andere symmetrieën mogelijk, namelijk horizontale spiegelassen (jump), een rotatie over 180 graden (ook wel puntsymmetrie genoemd, zie spinning jump), en een schuifspiegeling (step). Zie je welk type dit is?

We hoeven ons natuurlijk niet te beperken tot gelijke tegels (met een tekening) die naast elkaar liggen, we kunnen ook in verticale richting verder betegelen. Dan komen we onvermijdelijk uit bij de Moren, in Spanje bijvoorbeeld. Hier zie je twee foto's genomen in het Alcazar in Sevilla

Zo komen we terecht bij de behangpapierpatronen, en daar zijn er zeventien verschillende van, opnieuw geclassificeerd op basis van de symmetrieën:

Van links naar rechts en van boven naar onder zijn dit hun namen: cm, pm, pg, p1, p2mm, c2mm, p2mg, p2gg, p2, p3m1, p31m, p3, p4mm, p4gm, p4, p6mm, p6. Zie je tot welke categorie de twee betegelingen op de bovenstaande foto behoren? Dit algoritme kan helpen. Heb je interesse in friezen en behangpatronen, en hun symmetrieën, dan raad ik het volgende boek aan:

Jan van de Craats, Een passie voor symmetrie. Epsilon Uitgaven Amsterdam (2015) 106 pagina's.

Zoals we het van de Nederlandse wiskundige (ondertussen emeritus van de Universiteit van Amsterdam) gewoon zijn, ook nu weer een erg goed geschreven boek dat precies gaat over de symmetrieën in het vlak waarover we het hierboven hadden, maar ook rozetpatronen bespreekt, en bolpatronen (deze laatste dus in 3 dimensies). Bekijk zeker de figuren in deze presentatie om te weten wat je kan verwachten. Maar lees de tekst niet, want dan is de pret die je beleeft aan het boek er voor een deel af. Jan van de Craats gebruikt geen formules, het boek is een soort receptenboek waarin je leert hoe je symmetrische vormen en patronen kan determineren. Het is geschreven voor een groot publiek. En is prachtig geillustreerd. De twee foto's uit Sevilla uit deze blog staan op p. 75 (en zijn gemaakt door van de Craats' echtgenote Ineke van de Craats - Oosterwold). Een aanrader voor mensen met een analytische geest die door de figuren heen ook het patroon willen zien.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Een wiskundige die hierover alles al weet, die zal zeker veel pret beleven aan dit boek:

Frank Farris, Creating Symmetry. The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns. Princeton University Press, New Jersey (2015) 230 pagina's.Het onderwerp van dit boek is hetzelfde als dat van het vorige boek, maar de behandeling ervan is veel wiskundiger, dus zeker niet voor de leek. Met bijvoorbeeld complexe functies en Fourieranalyse laat de auteur zien wat je allemaal kan doen met rozetten, friezen en behangpapierpatronen. Het resultaat is een kruising tussen een wiskundeboek en een kunstboek: prachtige formules, en ook prachtige afbeeldingen.

Het begin allemaal met de volgende mystery curve waarvan de symmetrie schijnbaar niet overeenkomt met de formule die haar definieert:$$z= e^{i t} + \frac{1}{2} e^{6 i t} + \frac{i}{3} e^{-14 i t}$$ Je ziet de kromme hiernaast. Je leert er bijvoorbeeld ook hoe je foto's kan omzetten in prachtige symmetrische patronen. Een wiskundeboek voor wiskundigen, maar toch ook een coffee table book.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο

Veel werk in dit domein van de wiskunde is verricht door de wiskundige John Horton Conway, die we (tot zijn grote ergernis) vooral kennen als uitvinder van The Game of Life .

Hij is een wiskundige duizendpoot, en dus zeer interessant om een biografie van te schrijven:

Siobhan Roberts, Genius at Play. The Curious Mind of John Horton Conway. Bloomsbury USA, New York (2015) 454 pagina's.

De schrijfster, Siobhan Roberts, is een wetenschapsjournaliste die al een biografie van de meetkundige der meetkundigen, H.S.M. Coxeter, op haar naam heeft staan. Ze heeft John Conway een tijdje gevolgd in zijn doen en laten, letterlijk dus, ging mee op familiebezoek en dergelijke, en kwam zo meer en meer te weten over het leven van Conway (die zelf duidelijk niet zat te wachten op zijn biografie). Hij is een kruising tussen Archimedes, Mick Jagger, Salvador Dali, en Richard Feynman. Hij is ook een tonggymnast, en een van de uitvinders van het populaire spelletje Sprouts (en Brussels Sprouts). Zie ook hier. Een merkwaardig man. Erg de moeite waard!

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο