Ook in de wiskunde, de meest logisch samenhangende wetenschap, slagen we er niet altijd in om te bewijzen wat we willen bewijzen, en dan hebben we het niet over de gevallen zoals de Riemann-hypothese waar wiskundigen het bewijs maar niet van vinden, maar wel over stellingen (?) waar geen bewijs voor is.
Recent werden we uitgenodigd om een lezing te geven voor Universiteit van Vlaanderen. De titel van onze lezing was Waarom krijg je niet altijd wat je wilt?, en we hadden het dan over situaties in het dagelijkse leven waar je niet altijd krijgt wat je wil en hoe de wiskunde soms kan helpen om dit te verklaren. Maar ook in de wiskunde zelf krijg je niet altijd wat je wil. Het beeld dat we bij de wiskunde hebben van een wetenschap die perfect logisch in elkaar zit en waar het ene naadloos volgt uit het andere, is al meer dan 100 jaar geleden aan flarden geschoten. In het begin van de twintigste eeuw hadden de filosofen en wiskundigen Bertrand Russell en Alfred North Whitehead het idee om de wiskunde from scratch op te bouwen. Ze deden dat in het magnum opus Principia Mathematica. Maar het ging fout, o.a. door wat nu de klassenparadox van Russell wordt genoemd. Wat het probleem precies is, kunnen we uitleggen aan de hand van de volgende analogie.
De bibliothecaris in de bibliotheek van Babel vindt dat je niet genoeg kan classificeren. Hij heeft dan ook in de loop der jaren allerlei indexen gemaakt in boekvorm met de bedoeling een boek gemakkelijk te kunnen terugvinden in de reusachtige bibliotheek. Zo heeft hij een boek waarin alle boeken (en hun plaats in de bib) zijn opgenomen die een rode omslag hebben. Niet toevallig heeft deze index zelf ook een rode kaft.
Hij heeft bijvoorbeeld ook een boek gemaakt dat alle boeken van meer dan 3000 pagina's oplijst. Dit boek is niet al te dik.
Nu vindt de bibliothecaris dat hij ook een index moet maken met daarin alle boeken die zichzelf vermelden zoals het rode boek over de rode boeken. Noem deze index Z.
En dan ook een index met boeken die zichzelf niet vermelden (zoals het >3000 p. boek). Noem deze NZ.
Deze twee boeken bevatten samen alle boeken van de bibliotheek van Babel.
Deze paradox bracht een schokgolf teweeg in de wiskunde, meer bepaald in de verzamelingenleer, een deel van de wiskunde dat echt tot de basis behoort. In feite is deze paradox equivalent met de beter bekende kappersparadox:
(die overigens gemakkelijk kan opgelost worden door aan te nemen dat de kapper in kwestie een vrouw is). Er werden allerlei pogingen gedaan om dit probleem en andere op te lossen, maar een en ander werd nog veel erger gemaakt door Kurt Gödel, die in 1931 zijn onvolledigheidsstelling bewees. Lees eerst dit. Inderdaad, deze stelling van Gödel zegt dat elk wiskundig systeem ofwel onvolledig is (dat wil zeggen dat er ware uitspraken bestaan - stellingen dus eigenlijk - die niet bewezen kunnen worden), ofwel inconsistent is (dat wil zeggen dat er onware uitspraken zijn die wel bewezen kunnen worden). Waar wiskundigen wellicht vóór Gödel eerder star dingen enkel voor waar aannamen als ze effectief bewezen waren, is dat sinds dan fel verbeterd.
Het leuke van het bewijs dat Gödel gaf van zijn onvolledigheidsstelling is dat het eigenlijk neerkomt op bovenstaande uitspraken. Gödel slaagde erin om deze zin(nen) te formaliseren zodat ze een wiskundige formule werd(en). Vervang in bovenstaande even "false" door onbewijsbaar, dan zijn er twee mogelijkheden.
Ofwel is de zin waar, maar dan heb je een zin die waar is en van zichzelf zegt dat hij onbewijsbaar is. Dan is je systeem onvolledig.
Ofwel is de zin onwaar, en dan is ie dus bewijsbaar, en dan kan je dus iets bewijzen wat onwaar is. Dan is het systeem inconsistent.
Er zijn geen andere mogelijkheden.
Als je dit intrigerend vindt, lees dan zeker het (cult)boek Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid van Douglas Hofstadter. Het verscheen in 1979, vraagt wel wat inspanningen om het te lezen, maar het loont de moeite. Er is ook een Nederlandstalige versie van, ondertussen al de 15de druk.
Het gebouw van de wiskunde trilde even op zijn grondvesten (problemen met de fundamenten), maar het bleef gelukkig overeind.
Maar de gevolgen zijn er. Al jaren proberen wiskundigen het vermoeden van Goldbach te bewijzen:
Goldbach: elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van 2 priemgetallen.
Tot nu toe zijn er geen even getallen ( > 2) bekend die niet de som zijn van 2 priemgetallen. Dus zoeken we een bewijs. Maar misschien bestaat er wel helemaal geen bewijs, en is dit een van de uitspraken waarvan Gödel in zijn onvolledigheidsstelling heeft bewezen dat ze bestaan?
Nu we toch bezig zijn: er zijn ook stellingen in de wiskunde die eerder tegenintuïtief zijn. Een typevoorbeeld hiervan is de zogenaamde paradox van Banach-Tarski uit 1924. Het gaat hier om een stelling die paradoxaal klinkt, maar toch wel degelijk bewezen is (weliswaar gebruik makend van een axioma, maar dat gebeurt wel vaker in de wiskunde). De stelling zegt (bijvoorbeeld) dat je een massieve bol in 5 stukken kan verdelen en die aan elkaar kan passen zodat je twee bollen hebt die net zo groot en net zo massief zijn als de oorspronkelijke bol.
En wat moeten we hiervan denken? Bekijk even de volgende figuur:
In de figuur wordt verondersteld dat de gekleurde gebroken lijnen trapvormig van het ene hoekpunt naar het andere lopen. Stel verder dat het omgeschreven vierkant zijde 1 heeft. Het is dan eenvoudig in te zien dat de totale lengte van zo'n gekleurde lijn gelijk is aan de som van twee zijden van het vierkant, dus gelijk is aan 2. Dat geldt zowel voor de groene, als voor de gele en voor de blauwe lijn. Dus de blauwe lijn heeft ook totale lengte 2. Als we zo steeds fijner en fijner werken, dan zal het resultaat steeds meer gaan lijken op de diagonaal van het vierkant. Hoe fijn we ook werken, de lengte van zo'n 'traplijn' zal steeds 2 zijn. Maar... de lengte van de diagonaal van het vierkant is wel gelijk aan √2 . Hoe zit dat dan?
Dit is de bekende Diagonaalparadox (niet te verwarren met de diagonaalparadox van Cantor).
Uit onderstaande figuur volgt overigens dat de halve omtrek van de grote cirkel even langs is als de diameter ervan...
To do or not to do:
- lees in dit verband zeker de boeken van de Griekse auteur Apostolos Doxiadis: Uncle Petros and Goldbach's Conjecture (2000), en ook Logicomix: Een epische zoektocht naar de waarheid (2009 - een graphic novel). Indien u door bovenstaande blog in de war bent gebracht, dan bent u na het lezen van deze boeken weer volledig mee.
- kijk zeker niet naar dit filmpje.
