Nu de zon weer vaker schijnt kan je overal in de natuur prachtige kaustieken zien. Zoals deze:

of deze, bij een kop koffie:

Een verbeterde versie krijg je met behulp van een garnierring (zie boven).

Het gaat hier om de door de zon getekende kromme die ontstaat door de weerspiegeling van het licht in de cilindervormige garnierring. Hij staat bekend als de Coffeecup Caustic. Deze kromme wordt een katakaustiek genoemd, en is al zeer lang geleden door wiskundigen bestudeerd. Lang heb ik gedacht dat Christiaan Huygens (1629-1695) de eerste was, in zijn Traité de la lumière (1678). 
De naam kaustiek is gegeven door Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708), en is afgeleid van het Griekse woord voor 'branden'. In het Nederlands kunnen we spreken over een brandkromme, naar analogie met het brandpunt van bijvoorbeeld een parabool (waarbij lichtstralen die evenwijdig met de as invallen, weerkaatst worden door dit ene punt, tenminste als de parabool spiegelend is).
Von Tschirnhaus is vooral bekend voor de uitvinding van het porcelein, maar hij fabriceerde ook grote 'brandspiegels' met de bedoeling hiermee zeer hoge temperaturen te kunnen voortbrengen. Vandaar zijn interesse voor dit onderwerp. 
Dat ook Archimedes oog had voor brandkrommen blijkt uit het verhaal over het beleg van Syracuse in de tweede Punische oorlog, waarin beweerd wordt dat Archimedes de Romeinse vloot in brand stak met behulp van grote bronzen spiegels.
 

Groot was mijn verbazing toen ik enkele dagen geleden op de volgende figuur stootte:

en wel in een van de notaboekjes van Leonardo Da Vinci (1452-1519), met name de Codex Arundel, uit het begin van de zestiende eeuw. Een moderne versie van deze tekening ziet er zo uit:

Maar om welke kromme gaat het hier? Op de tekening zie je dat de gezochte kromme rakend is aan de weerkaatste stralen. In de wiskunde spreekt men over de omhullende van de weerkaatste stralen. Methodes om de vergelijking van een omhullende te vinden, bestaan al lang. In dit geval blijkt het te gaan om de helft van een nierkromme, of nefroïde, een kromme die thuishoort bij de epicycloïden. Dit zijn krommen die ontstaan indien we een cirkel omheen een vaste cirkel rollen zonder glijden, en we de beweging van een punt op de rand van de rollende cirkel volgen:

Door de eeuwen heen zijn kaustieken bestudeerd door niet de minste wiskundigen, door enkele Bernoulli's bijvoorbeeld, maar ook door Adolphe Quételet (1796-1874), wiskundige van eigen bodem en bekend uit de statistiek en als 'uitvinder' van de body mass index. 
Als je er even mee bezig bent, dan kom je al snel terecht in een wereld vol krommen met exotische namen zoals evoluten, evolventen, voetpuntskrommen, orthotomics. Met leuke prentjes ook. De kaustiek van een cycloïde bijvoorbeeld is opnieuw een cycloïde die half zo groot is als het origineel:

En de kaustiek van de bekende exponentiële functie is dan weer een andere beroemde kromme, namelijk de kettinglijn:

Geïnteresseerde lezers kan ik het boek van Johann Bernoulli (1667-1748) aanraden (hier in een Duitse vertaling), de hoofdstukken over kaustieken beginnen op pagina 110, of het eerste echte Calculusboek, van de hand van Guillaume de l'Hospital(1661-1704) (vanaf pagina 148 gaat het over kaustieken). Ook nu nog worden kaustieken bestudeerd, bijvoorbeeld in de branche van de Computer Graphics (waarin collega-blogger Philip Dutré actief is). 
Hier zie je een beeld dat volledig door de computer is gegenereerd:

En ook dit past volledig in het kader:

Bronnen/verder lezen

• Een deel van dit materiaal vind je terug in:
  P. L. en H. Missinne, Over grafieken, kaustieken en epicycloïden, Wiskunde en Onderwijs 32 (125), pp. 21-30, 2006.
• Ook hier kan je eens een kijkje nemen: Ch. Ucke en Ch. Engelhardt, Playing with caustic phenomena, en Kaustik in der Kaffeetasse. Op de webpagina van Christian Ucke zijn overigens nog een heleboel andere leuke dingen te lezen.