Je hebt het misschien al gehoord op een recente nieuwjaarsreceptie, misschien wel van een collega die je tijdens het gewone werk nooit durft aan te spreken: 2017 is een pizzagetal!
In 2012 veralgemeende Frederickson dit puur grafisch argument voor 12, 16, 20, … stukken in zijn artikel The proof is in the pizza. We vonden ook nog dit resultaat in een paper uit 1999 door vijf auteurs met de familienaam Hirschhorn. In de verdeling van het pizza-theorema in n=4×k stukken (met k≥2) blijft het resultaat ook geldig voor k eters, die om de beurt de volgende spie nemen. Bijvoorbeeld als in de verdeling hierboven in 12 stukken ditmaal drie gasten beurtelings een aangrenzend stuk nemen, dan hebben ze op het einde van de rit allen evenveel gegeten! We zouden nog kunnen doorgaan met pizzawiskunde tot iedere lezer geveld wordt door een indigestie, maar laten we het hier maar bij houden.
Vorig jaar wist dezelfde collega jou te zeggen dat 2016 een driehoeksgetal is, na zich moed te hebben ingedronken met te roze champagne. Hopelijk heb je dan dit jaar niet geantwoord: `Nogal wiedes, een driehoeksgetal wordt altijd gevolgd door een pizzagetal’, want dan heb je de arme collega afgeblokt voor de nieuwjaarsfeestjes van de komende tien jaren. De juiste reactie is natuurlijk de vraag te stellen: wat is een pizzagetal? Het klinkt in ieder geval minder droog dan een driehoeksgetal, dat simpelweg het aantal bolletjes telt in een driehoekige stapel. Hieronder staan de eerste zes driehoeksgetallen.
Een driehoekige stapel met 63 rijen, met dus 63 bollen in de onderste rij, telt 2016 bollen. Het N-de driehoeksgetal TN kan snel berekend worden dankzij de formule 2×TN=N×(N+1), die hieronder zonder woorden bewezen wordt:
Dus 2×T63=63×64=4032. Naast deze expliciete formule om TN te berekenen is de volgende recursiebetrekking ook best nuttig:
TN=TN−1+N
Deze relatie zegt gewoon dat een driehoekige stapel met N rijen gevormd wordt door bij een kleinere stapel met N−1, rijen een rij van N bollen onderaan toe te voegen. Het eerstvolgende driehoeksgetaljaar is dus 2080 (2016+64). Een pizzagetal PN heeft ogenschijnlijk niets met deze driehoeksgetallen te maken, want PN geeft het maximaal aantal stukken weer waarin je een (ongeplooide) pizza kan verdelen door N rechte sneden. Duidelijk is P1=2 en P2=4. Met drie rechte sneden krijg je gewoonlijk zes stukken, omdat we in een klassieke verdeling telkens mooi door het midden snijden (bij voorkeur met gelijke hoeken, zodat we zes even grote stukken bekomen), maar toch is 6 geen pizzagetal. Je kan immers met drie rechte sneden ook 7 stukken krijgen, weliswaar van ongelijke grootte:
Omdat we wiskundig kunnen bewijzen dat meer dan zeven stukken niet lukt met drie rechte sneden, is 7 het derde pizzagetal: P3=7. Hieronder zie je de eerste zes van de rij der pizzagetallen, waarbij we P0=1 gesteld hebben (nul keer snijden geeft inderdaad 1 stuk: de hele pizza).
In populariserende wiskundeteksten wordt deze rij ook wel eens de rij van de luie traiteur genoemd (lazy caterer’s sequence). Inderdaad, bij deze verdeling hoeft de traiteur zo min mogelijk te snijden om toch zoveel mogelijk stukken te krijgen. Enkele minuten (of seconden?) reflectie zal de lezer overtuigen dat de luie strategie (om het aantal stukken te maximaliseren) er in bestaat iedere snijlijn iedere andere snijlijn te laten passeren zonder door een snijpunt van twee andere snijlijnen te gaan. Kijk bijvoorbeeld hierboven naar de pizza met 3 snijlijnen: geen snijlijn bevat een snijpunt van de andere twee en iedere snijlijn ontmoet ook de andere twee. Snijden we nu een vierde keer (pizza ernaast), dan zorgen we gewoon dat deze nieuwe snijlijn de andere drie snijlijnen snijdt. Omdat deze vierde lijn dan ook in vier intervallen verdeeld wordt door de drie andere, met ieder interval een nieuwe scheidingslijn in bestaande stukken van de vorige verdeling, heeft deze vierde snede juist vier bestaande stukken (uit de vorige verdeling) in twee gedeeld. De vierde snijlijn levert dus vier nieuwe stukken op: P4=P3+4=7+4=11. In het algemeen zien we deze recursieformule voor de pizzagetallen:
PN=PN−1+N
. Aha-erlebnis: de pizzagetallen beantwoorden aan dezelfde recursierelatie als de driehoeksgetallen! Maar omdat T1=1 en P1=2 lopen de pizzagetallen eentje voor:
PN=TN+1=N(N+1)2+1
Omdat T63=2016, is P63=2017, het aantal stukken waarin een luie traiteur zijn pizza snijdt met 63 sneden. Het volgende pizzagetaljaar zal pas over 64 jaar zijn, in 2081, net als 2017 een priemgetal! (Dit toevallig en terzijde.) Vraag ons niet waarom, maar het verdelen van pizza’s blijkt wiskundigen te inspireren. Vorige jaar bedachten enkele wiskundigen op de universiteit van Liverpool een creatieve manier om een pizza in gelijke stukken te verdelen (uiterst ongeschikt voor luie traiteurs):
En dan is er natuurlijke ook het fameuze pizza-Theorema. Een doorsneemens, niet gehinderd door wiskundekennis, verdeelt een pizza altijd in stukken van gelijke grootte (4 of 6 of 8 of meer) door hem een aantal keer rechtdoor te snijden, steeds door het pizzacentrum, zodat alle hoeken even groot zijn. Dit pizzacentrum wordt dan op zicht bepaald, en op de keper beschouwd zal dit nooit exact zijn. Maar het pizza-theorema zegt dit niet erg is, tenminste zolang je er wel in slaagt om in gelijke hoeken te snijden. PIZZA-THEOREMA: Stel dat je een pizza verdeelt in n stukken door altijd door hetzelfde punt te snijden (niet noodzakelijk het middelpunt) en met gelijke spiehoeken (=360∘/n). Als n een veelvoud van 4 is en minstens 8, dan zullen twee mensen die om de beurt een stuk nemen (proper naast het vorig weggenomen stuk) op het einde een gelijke pizzaoppervlakte gegeten hebben. In het voorbeeld hieronder met 8 stukken is de totale gele oppervlakte gelijk aan de totale paarse oppervlakte.
Ook in het geval met 12 spieën is de totale groene oppervlakte gelijk aan de totale oranje oppervlakte:
Deze stelling verscheen voor het eerst als vraagstuk in een editie van Mathematics Magazine in 1968 (opgelost door Goldberg). Maar wij verkiezen het bewijs (voor 8 stukken) uit 1994 van Carter en Wagon (zonder woorden):
