Aan de festivaltoog is de bedieningsvolgorde chaotisch en willekeurig. Gents onderzoek wijst uit dat die willekeur de festivalganger in sommige gevallen gewoon sneller aan bier helpt.
Als het aan een gewone toog al druk kan zijn, dan zeker aan een festivaltoog. Festivalgangers hengelen er schouder aan schouder naar de aandacht van de barvrouw of barman, om na een onvoorspelbaar aantal wenken en pogingen eindelijk bediend te raken. De willekeur die hiermee gepaard gaat zorgt voor de nodige chaos, en staat duidelijk mijlenver van het klassieke rijtje schuiven met bediening in volgorde van aankomst.
Het laat zich nog het best beschrijven als een willekeurige bedieningsvolgorde. En toch is daar niets mis mee, integendeel: ons nieuw gepubliceerd onderzoek wijst uit dat dit in sommige gevallen net beter is. Concreet stellen we vast dat als periodes van grotere en kleinere bestellingen elkaar afwisselen, zoals dat op festivals gebeurt, willekeurige volgorde het net iets beter doet dan klassieke volgorde. In sommige gevallen valt de gemiddelde wachttijd zo maar even 6% lager uit. En dan is er ook nog een festivaltruc, die het voordeel van een festivaltoog verder kan vergroten.
Van model naar festivaltoog
Het onderzoek werd gepubliceerd in het vaktijdschrift Operations Research Letters, en is nog even vrij te bekijken via deze link. Het gaat uit van een abstract wiskundig model uit de wachtlijntheorie — de wiskunde van het wachten — en is dus niet gebonden aan een concrete toepassing zoals een festivaltoog. Toch is het er perfect toepasbaar op: festivalgangers komen één voor één tot bij een festivaltoog, binnen het bereik van één barmedewerker die hen bedient. Elke klant brengt een bestelling met zich mee waarvan de bedieningstijd willekeurig verdeeld is: ofwel eerder kort (bv. één pintje) of juist lang (bv. meer pintjes dan handen). De barmedewerker handelt elke bestelling steeds volledig af alvorens een volgende klant uit te kiezen. In het model gaan we ervan uit dat elke wachtende klant evenveel kans maakt om gekozen te worden. Deze ‘chaotische’ manier van werken vergelijken we dan met de klassieke manier met rijtje schuiven, om een verschil in wachttijd vast te stellen. Dit is op zich niet evident, want aan de toog is er precies evenveel werk bij beide varianten. Waar komt dat verschil dan vandaan? We bekijken een voorbeeld.
Een voorbeeld
Stel dat er niemand aan de festivaltoog wacht, en er plots heel kort na elkaar (met een verwaarloosbaar tijdsverschil) vier klanten één voor één naast elkaar aan de toog komen staan. Stel bovendien, om het eenvoudig te houden, dat er tijdens de bediening van deze vier klanten geen nieuwe klanten aankomen, en dat bestellingen altijd veelvouden van een minuut duren.
De barmedewerker kent de grootte van de bestellingen niet, en komt deze pas één voor één bij de bediening van de klanten te weten: 1 minuut voor de eerst aangekomen klant, 3 voor de tweede, 2 voor de derde en 1 voor de laatst aangekomen klant. Schematisch is dit 1 · 3 · 2 · 1.
• Aan een toog met rijtje schuiven wordt het schema 1 · 3 · 2 · 1 naadloos gevolgd. De eerste klant wacht niet, de tweede 1 minuut, de derde 4 (1+3), en de vierde 6 (1+3+2). Voor deze vier klanten is de gemiddelde wachttijd (0+1+4+6)/4, of 2 minuten en 45 seconden.
• Aan een festivaltoog worden de klanten in willekeurige volgorde bediend. Met enige kans (1 op 24) wordt toevallig de volgorde van aankomst gevolgd, maar elke andere volgorde maakt een even grote kans. Uitgemiddeld over alle volgordes en alle klanten moet er 2 minuten en 37.5 seconden gewacht worden, iets korter dus.
• Tenslotte is er ook een volgorde met minimale gemiddelde wachttijd, door de bestellingen van klein naar groot af te handelen, schematisch 1 · 1 · 2 · 3. Dit levert een gemiddelde wachttijd van (0+1+2+4)/4, of 1 minuut en 45 seconden. Indien de grootte van bestellingen vooraf gekend is, is dit onomstotelijk de beste strategie. Maar aangezien dit aan een festivaltoog (en, wat dat betreft, elke toog) noch gangbaar noch wenselijk is, is deze lage wachttijd in de praktijk niet haalbaar.
Hoewel het voorbeeld sterk vereenvoudigd is, illustreert het helder dat een festivaltoog beter kan scoren dan een toog met rijtje schuiven. Met daarbij een hint over de bron van deze winst: de kunst bestaat er blijkbaar in om de kleine bestellingen net iets vroeger te behandelen, en de grote net iets later. Dit effect kan men niet expliciet najagen, omdat men de grootte van de bestellingen niet vooraf kent. Toch is het precies dit effect dat er in dit voorbeeld voor zorgt dat de festivaltoog het beter doet dan de toog met rijtje schuiven. En ook in de gevoerde studie is het ditzelfde effect dat speelt. Blijkbaar is het soms een goed idee om de volgorde van aankomst meteen na aankomst te ‘vergeten’.
Zoals dat op festivals gebeurt
In het nieuw gepubliceerde onderzoek bekeken we de gemiddelde wachttijd voor een zeer groot aantal klanten in plaats van slechts enkelen. Als je dat bekijkt voor compleet onafhankelijke bestellingen van klant tot klant dan vind je eigenlijk niets: willekeurige volgorde of volgorde van aankomst, maakt niet uit, beide scoren gelijk. Voor de bestellingen namen we evenwel aan dat grote en kleine bestellingen niet gelijkmatig gespreid zijn in de tijd, maar dat er periodes zijn met typisch grotere bestellingen, afgewisseld met periodes met kleinere bestellingen, zoals dat op festivals gebeurt. Zo is er het festivalprogramma, dat bv. groepen festivalgangers samen naar eenzelfde act leidt, of hen juist doet opsplitsen, omdat enkele grote acts gelijktijdig spelen. Dat resulteert dan in grotere of juist kleinere bestellingen. Maar indirect zorgen ook andere factoren zoals de afwisseling van zon en bewolking en het uur van de dag voor afwisseling in de bestellingen.
Dit soort afwisseling hebben we wiskundig uitgedrukt met een zogenaamd Markov-modulated Poisson process. Dankzij de algemeenheid van dit model zijn de wisselende bestellingen op een heel neutrale en onbevooroordeelde manier in de studie aanwezig. En eens we dit soort afwisseling van bestellingen op gang trekken blijkt willekeurige bedieningsvolgorde het iets beter te doen dan klassieke volgorde. Bij een bepaald tempo van afwisseling van periodes van bestellingen valt de gemiddelde wachttijd 6% lager uit. Blijkbaar slaagt men er aan een festivaltoog dus beter in om met dit soort afwisseling om te springen dan aan een toog met rijtje schuiven, en raak je er dus sneller aan bier. Al roept dit antwoord weer nieuwe vragen op. Want willen we dan ook niet precies gaan afbakenen in welke gevallen willekeurige volgorde beter scoort van klassieke volgorde, en andersom? Dit is tot op vandaag een open probleem.
Festivaltruc
En nu we het blazoen van de festivaltoog genoeg opgepoetst hebben, moeten we dit toch ook nog kwijt: bediening in willekeurige volgorde vertoont meer speling of variantie van de wachttijden dan bediening met rijtje schuiven. Of, praktisch: aan een festivaltoog worden sommige klanten in vliegende vaart bediend, terwijl anderen wel eindeloos lijken te moeten wachten. En aangezien ons menselijk brein zich achteraf vooral de lange wachttijden herinnert, komt de festivaltoog er misschien toch niet zo goed uit.
Tot we de festivaltoog van nog dichterbij bekijken. Want wat te denken van deze festivaltruc, om met meerdere mensen aan de toog te staan wachten, en diegene van hen die eerst aan de beurt is voor iedereen te laten bestellen? (Of, beter, trakteren!) Een tip waard, zo blijkt. Vooreerst leidt een dergelijke strategie nog sneller tot bier: bij elke nieuwe bediening zijn de kansen om aan de beurt te komen net zo hoog als de verhouding van het aantal deelnemers tot het totale aantal wachtende klanten. Bovendien stimuleert het festivalgangers om hun bestelling te bundelen, wat dan weer een voordeel oplevert bij de eigenlijke bediening, omdat er zo net iets minder tijd opgaat aan het overleggen en betalen van de totale bestelling. En zo vermindert aan de festivaltoog, zonder dat het opvalt, de totale hoeveelheid werk. Wat dan weer voordelig is voor de andere klanten, aangezien dit de algemene gemiddelde wachttijd omlaag haalt, en — zowaar — ook de variantie. Zodat een festivaltoog idealiter enkel nog voordelen heeft, als deze festivaltruc maar populair genoeg is. Bundelen maar, die bestellingen! En niet vergeten om ook eens een act bij te wonen.
Met dank aan mijn collega’s bij vakgroep TELIN (UGent) voor de waardevolle input.
W. Rogiest, K. Laevens, J. Walraevens, H. Bruneel, When Random-Order-of-Service outperforms First-Come First-Served, Operations Research Letters, 30 juli 2015. Nog tot 19 september gratis te lezen op http://authors.elsevier.com/a/1RSVzc7SoT1u6
Dit artikel is een update van een stuk van augustus 2015.
