Hij is vooral bekend door de rij getallen die zo begint: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670 en die in massa's problemen van allerlei aard opduikt. Om alvast een voorbeeld te geven: op hoeveel manieren kan je $n$ (paren) haakjes (i.e. (...)) plaatsen in een product met $n+1$ factoren? Hierbij bekijken we het plaatsen van haakjes zoals we dat traditioneel doen in de wiskunde: we zetten ze op een economische manier, een enkele factor staat nooit tussen haakjes, maar alle factoren samen wel.
Een voorbeeld, voor $n=2$, dus 2 paren haakjes, met 3 factoren:

$$((ab)c),(a(bc))$$

Slechts twee manieren dus: dit is het derde getal van de rij.
Voor $n=3$, met 4 factoren, zijn de mogelijkheden:

$$(((ab)c)d),((a(bc))d),(a((bc)d)),(a(b(cd))),((ab)(cd))$$

Vijf dus. En het gaat zo verder.

Stel dat je met een even aantal personen ($2n$) aan een (niet al te grote) ronde tafel zit. Op hoeveel manieren kan de helft van het gezelschap simultaan een hand geven aan iemand anders aan die tafel, eventueel over de tafel heen, zonder dat je kruisingen veroorzaakt?

Inderdaad, je vindt dezelfde getallen terug.

Op hoeveel manieren kan je munten stapelen (zoals appelsienen, maar dan in 2 dimensies!) als je begint met een onderste rij van $n$ munten? Je ziet het hier voor $n=3$.

Het zijn er 5, en je kan zelf controleren dat je zo dezelfde rij getallen krijgt. Ook het aantal verschillende manieren waarop je een regelmatige $n$-hoek kan opdelen in niet-overlappende driehoeken wordt beschreven met deze rij getallen: voor een driehoek 1 manier, voor een vierkant 2, voor een vijfhoek zijn er 5, enz.
(Over het vreemde verband tussen dergelijke triangularisaties van veelhoeken en friespatronen lees je meer hier. Dit artikel staat op een interessante website, weliswaar voor mensen met een wiskundige achtergrond. De website is ook verbonden met het imaginary-project, en zo met een tentoonstelling die recent naar Vlaanderen kwam.)

Deze rij getallen wordt de getallenrij van Catalan genoemd, naar de Franse wiskundige Eugène Charles Catalan (1814-1894) geboren in Brugge, gestorven in Luik. En als Napoleon een jaar vroeger was verslagen, dan was Catalan geen Fransman geweest! Brugge maakte namelijk van 1799 tot in 1815 deel uit van Frankrijk...
Een spijtige zaak, want Catalan was niet de minste als wiskundige. In de CRC concise encyclopedia of mathematics (3242 pagina's) vind je informatie over de Catalan integralen, de Catalan getallen (!), de Catalan veelvlakken waarvan dit er een is: 

Catalan's aliquot-vermoeden, Catalan's vermoeden (de getallen 8 en 9 zijn de enige machten (23,32) die slechts 1 eenheid van elkaar verschillen - ondertussen een stelling want in 2002 bewezen door Preda V. Mihăilescu), de constante van Catalan:

$$G=\sum_{n=0}^\infty \frac{(−1)^n}{(2n+1)^2}$$

de identiteit van Catalan voor de Fibonacci-getallen, Catalan's minimaaloppervlak:

de driehoek van Catalan, en tot slot de trisectrix van Catalan. Niet slecht als oogst.

De familie van Catalan verhuisde al snel naar Parijs, waar Eugène school liep in de École Royale Gratuite de Dessin et de Mathématiques en Faveur des Arts Mécaniques. Vanaf 1829 (!) gaf hij daar ook meetkundelessen. In 1833 ging hij naar de École Polytechnique, en in die periode begon de politiek hem parten te spelen. Hij was een overtuigd republikein in een periode waarin je dat beter niet kon zijn. Hij werd voor een maand buitengesmeten, maar studeerde toch af, in 1836, en ging dan lesgeven. Vanaf dan begon de wiskundige carrière van Catalan. Veel wiskundige artikels, veel prijzen, en veel omzwervingen later werd Catalan professor aan de universiteit van Luik, waar hij in 1881 bij zijn pensioenviering dit zei:

Deux passions, Messieurs, ont surtout rempli ma vie : la Politique militante et la Mathématique, comme on disait autrefois. Un discours sur la Politique serait de mauvais goût, serait déplacé dans cette enceinte. Puis, nous ne serions peut-être pas d'accord, vous et moi. Il n'en sera pas de même, j'en suis convaincu, si je soumets à mes chers élèves, anciens et nouveaux, non une Dissertation sur les délices des Mathématiques (cela nous mènerait trop loin), mais quelques réflexions, bien simples, relatives au travail intellectuel.
(Als je leest wat in bold staat, dan lijkt het ons dat Catalan een man naar ons hart was.)

Indien je meer wil weten over de getallen van Catalan, neem dan zeker de tijd om naar dit filmpje te kijken.

We willen van de gelegenheid gebruik maken om even terug te komen op een van onze lievelingsonderwerpen: perfecte getallen en aanverwanten. Dat andere vermoeden van Catalan, het aliquot-vermoeden, is nog steeds niet opgelost.
De volgende rijen getallen zijn wat men noemt aliquot-rijen. Het eerste getal van de rij bepaalt volledig het verdere verloop van die rij. (Zie verder voor de uitleg hoe precies.)

1, 0.
2, 1, 0.
3, 1, 0. (zo gaat het steeds als je start met een priemgetal)
4, 3, 1, 0.
5, 1, 0.
6, 6, 6, ... (zo gaat het steeds als je start met een perfect getal)
8, 7, 1, 0.
9, 4, 3, 1, 0.
...
12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0.
...
14, 10, 8, 7, 1, 0.
...
25, 6, 6, 6, ... (zo gaat het als je in de rij een perfect getal tegenkomt)
...
28, 28, 28, ... (opnieuw een perfect getal)
...
30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0.
...
220, 284, 220, 284, 220, ... (zo gaat het als je start met een getal dat behoort tot een paar bevriende getallen)
...
1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, .... (zo gaat het steeds als je start met een getal dat behoort tot een groep gezellige getallen)

De rij ontstaat als volgt. We starten met een positief getal, en bepalen de echte delers van dit getal, dat zijn alle delers behalve het getal zelf. De som van deze echte delers is het volgende getal van de rij. Hiervoor doen we precies hetzelfde.
Een voorbeeld. We starten met 12, met als echte delers 1,2,3,4,6 met som 1+2+3+4+6 = 16. Dit is het tweede getal van de rij. De echte delers van 16 hebben als som 1+2+4+8 = 15, het derde getal. 15 wordt 1+3+5 = 9, 9 wordt 1+3 = 4, 4 wordt 1+2 = 3, 3 wordt 1, en 1 geeft 0 want 1 heeft enkel zichzelf als deler. Dan stopt het.

Enkele bedenkingen hierbij:

• Als je start met een priemgetal, of je komt op een priemgetal uit, dan volgt nog 1, 0 en het stopt.
• Als je start met een perfect getal, of je komt op een perfect getal uit, dan wordt de rij vanaf dan constant (zie 6 - herinner je: een perfect of volmaakt getal is een getal dat gelijk is aan de som van zijn echte delers: 1+2+3 = 6).

• Als je start met een van twee bevriende getallen, of je botst er op in de rij, dan volgt dadelijk het andere element van het koppel, en vanaf dan wisselen die 2 bevriende getallen elkaar af (zie 220 - herinner je: twee getallen zijn bevriend als de som van de echte delers van het ene getal gelijk is aan het andere getal, bijvoorbeeld de echte delers van 220 hebben als som 1+2+4+10+11+20+22+44+55+110 = 284 en de som van de echte delers van 284 is gelijk aan 1+2+4+71+142 = 220).

De rij wordt dan periodiek, met periode 2.

• We noemen een aantal getallen (3 of meer) gezellige getallen (sociable numbers) indien de som van de echte delers van het eerste getal precies het tweede getal is, de som van de echte delers van het tweede is het derde, enz. en tot slot is de som van de echte delers van het laatste getal (van de groep gezellige) gelijk aan het eerste. Indien je in het boven beschreven procede zo'n getal tegenkomt, dan wordt de rij ook weer periodiek (zie 1264460).

Het aliquot-vermoeden van Catalan zegt dat dit de enige mogelijkheden zijn. Dit wil zeggen: het kan niet gebeuren dat een rij oneindig doorloopt zonder constant of periodiek te worden:

Zoals je kan lezen is Catalan enkele gevallen vergeten. Dat werd goedgemaakt door Leonard Eugene Dickson.
Is dit vermoeden waar? Paul Erdős bijvoorbeeld dacht in elk geval van niet. Sinds de komst van krachtige computers is er natuurlijk al aardig wat aan dit probleem gerekend. En toch zijn er nog steeds vijf getallen onder 1000 waarvan men niet weet hoe de overeenkomstige rij eindigt. Ze worden de Lehmer five genoemd: 276, 552, 564, 660 en 966. Waarschijnlijk heeft Catalan niet beseft wat hij veroorzaakte met die paar lijnen in de Bulletin de la Société Mathématique de France.

Eindigen doen we met twee mooie formules van Catalan, voor de getallen pi en e:

$$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=\frac{4\cdot4}{3\cdot5}\cdot\frac{8\cdot8}{7\cdot9}\cdot\frac{12\cdot12}{11\cdot13}\cdot\frac{16\cdot16}{15\cdot17}\cdot\ldots$$

$$e=\frac{2}{1}\left(\frac{4}{3}\right)^{1/2}\left(\frac{6\cdot8}{5\cdot7}\right)^{1/4}\left(\frac{10\cdot12\cdot14\cdot16}{9\cdot11\cdot13\cdot15}\right)^{1/8}\ldots$$

Tot slot nog dit. Ere wie ere toekomt: op 18 juni 2065 zullen we bloggen over de stelling van Napoleon.