'De speltheorie is universeel, dat maakt haar zo mooi'

Wiskundigen en economen kennen hem vooral als ontdekker van het Nash-evenwicht in de speltheorie. Zijn bevindingen leverden hem een Nobelprijs op. Het brede publiek leerde John Nash kennen als het ingestorte én na dertig jaar weer verrezen genie uit de film A Beautiful Mind uit 2002. Hij ontving in 2007 op 78-jarige leeftijd een eredoctoraat van de Universiteit van Antwerpen. Toen hij de notie van het Nash-evenwicht in 1950 ontwikkelde, gold zijn bevinding nog als pure wiskunde. Inmiddels heeft het zijn plaats veroverd in verscheidene domeinen van de wetenschap.

In de speltheorie beschrijven wiskundigen de manier waarop twee of meer ‘deelnemers’ in een ‘spel’ met elkaar interageren door hun strategieën op elkaar los te laten. Door het universele karakter van de theorie kunnen de begrippen ‘deelnemers’ en ‘spel’ heel ruim worden opgevat – het hoeven dus niet per se twee schakers te zijn. De grondleggers van de theorie, de wiskundigen John von Neumann en Oskar Morgenstern – beiden in de jaren dertig van vorige eeuw vanuit respectievelijk Hongarije en Oostenrijk naar de Verenigde Staten gevlucht – concentreerden zich in hun standaardwerk Theory of Games and Economic Behaviour uit 1944 in de eerste plaats op coöperatieve spelen. Coöperatief wil zeggen dat de spelers afspraken met elkaar mogen maken en dus kunnen samenwerken.

De toen nog jonge student John Nash legde zich aan het eind van de jaren veertig echter toe op niet-coöperatieve spelen. Samenwerking is hier uitgesloten en de uitkomst voor elke speler wordt volledig bepaald door de eigen strategie. Von Neumann, Morgenstern en Nash werkten aan de Universiteit van Princeton, die mede door hen maar ook doordat Albert Einstein er de laatste periode van zijn leven doorbracht, een van de meest prestigieuze van de Verenigde Staten werd. Nash bewees in 1950 dat voor elk spel met twee of meerdere spelers er een soort verzameling van optimale strategieën bestond, het Nash-evenwicht. Binnen dit evenwicht is het voor een individuele speler niet mogelijk zijn winstkansen te vergroten zonder dat een andere speler dat ook doet.

Nobelprijs
In 1994 werd Nash voor zijn bijdrage aan de speltheorie – hij was toen net min of meer hersteld van een dertig jaar durende, erg donkere periode van paranoïde schizofrenie – onderscheiden met de (gedeelde) prijs van de Zweede Rijksbank voor economie, vandaag de officieuze Nobelprijs voor Economie. Maar zag John Nash zich niet liever bekroond binnen zijn eigen vakgebied met bijvoorbeeld de hoogste wiskundige onderscheiding, de Fieldsmedaille? Nash: ‘Om die te winnen moet je jonger dan veertig zijn, dus dat is een beetje laat. Maar het is juist dat een puur wiskundige onderscheiding beter bij me zou passen. Overigens heeft dit soort onderscheidingen een heel ander effect op je carrière dan de Nobelprijs, die je meestal op latere leeftijd ontvangt voor ‘bewezen diensten’. De Fieldsmedaille zorgt voor een echte boost in de carrière van de laureaat.’ Dat Nash’ werk voor een grote impact heeft gezorgd op de theoretische economie mag duidelijk zijn. Volgens hem is de link met de economie dan ook snel gelegd. ‘Denk maar aan een spelletje poker. Daarin gaat geld om dus is het een vorm van economische activiteit.’ Maar ook in heel andere gebieden gebruiken wetenschappers het Nash-evenwicht als fundament voor hun theoretische modellen.

Voor een wiskundige – wat Nash vroeger in de eerste plaats was en ook nu nog is – lijkt het niet altijd evident om de praktische toepassingen van zijn mathematische hersenspinsels zomaar voor de vuist op te sommen. Niet zelden vergeet hij dat zijn theorieën überhaupt werden toegepast, en zeker Nash tijdens zijn psychologisch donkere periode. Toch haalt Nash de zogenoemde ‘veilingtheorie’ aan als een van de meest praktische zaken die door de speltheorie en het Nash-evenwicht werden beïnvloed. Met die veilingtheorie wordt gezocht naar het meest optimale ontwerp voor de organisatie van een veiling of openbare aanbesteding – optimaal voor de organisator én voor de bieders, een soort van Nash-evenwicht dus. Zo’n veiling kan volgens verschillende manieren zijn ingericht. Zo is er het winner-pay-principe (per stijgend opbod en alleen de hoogste bieder betaalt), het all-pay-principe (per opbod en alle ‘verliezers’ betalen een bijdrage) of een simpele loterij.

Uit econometrisch onderzoek – dat weer terugvalt op het Nash-evenwicht – blijkt bovendien dat als de opbrengst bestemd is voor een goed doel, de all-pay-veiling veruit het meeste geld in het laatje brengt, gevolgd door de loterij en dan pas de winner-pay-veiling. Meer specifiek heeft Nash het over de ‘grootste veiling ooit’ die in 1994 in Washington werd gehouden en waar de overheid de licenties verkocht voor het mobiele communicatienetwerk in de Verenigde Staten. Op advies van in de speltheorie gespecialiseerde economen kon die veiling zo georganiseerd worden dat de opbrengst voor de overheid maximaal was, en dat de telecombedrijven niet zoals voorheen uitgeloot werden maar actief konden meedingen naar een licentie. De verzameling van de deelnemers – de biedende telecombedrijven dus – mét hun afzonderlijke strategieën vormden daarbij een Nash-evenwicht.

Groepsspel
Voor een andere toepassing van het Nash-evenwicht moeten we ons tot de biologie wenden, en meer bepaald de tak die de evolutie van populaties bestudeert. De Britse bioloog John Maynard Smith reserveerde in 1973 met het concept van de Evolutionair Stabiele Strategie (ESS) voor de speltheorie een plaatsje binnen de populatiebiologie. Een ESS is een evolutionair evenwicht waarbinnen het voor elk lid van een bepaalde populatie niet de moeite loont een andere strategie ‘te spelen’ dan de meerderheid van de populatie, kortom elk lid kan zich binnen een ESS maar beter conformeren.

Een voorbeeld is de  geslachtsverhouding zoals die bij nagenoeg alle diersoorten voorkomt, namelijk 50/50. Merkwaardig, want op het eerste gezicht is een situatie met minder mannetjes dan wijfjes even plausibel en levensvatbaar – het polygame karakter van de man zou de voortplanting verzekeren. De reden dat zulke situaties altijd evolueren naar een 50/50-verhouding ligt echter voor de hand. Als er minder mannetjes dan wijfjes zijn, is het vanuit evolutionair standpunt interessanter om een mannetje te zijn – door de lagere concurrentie vinden de mannetjes gemakkelijker een partner. Maar daardoor worden wijfjes die veel mannetjes voortbrengen ook evolutionair én genetisch bevoordeeld, wat het tekort aan mannetjes weer tenietdoet en de verhouding gelijktrekt. Dezelfde redenering gaat op voor een situatie met minder wijfjes. De geslachtsverhouding is dus evolutionair stabiel.

Hoewel zijn theorie een plaats heeft veroverd binnen de populatiebiologie en de evolutieleer, blijft John Nash enigszins sceptisch over het waarheidsgehalte van de theorie die sinds Darwin gemeengoed is geworden. ‘Het hele proces van de evolutie lijkt mij te gecompliceerd om door ons, levende wezens die deel uitmaken van de evolutie, goed begrepen te kunnen worden. Niet het minst door het gigantische verschil in tijdsduur tussen ons eigen menselijke bestaan en het hele evolutieproces. Als we de periode vanaf er leven op aarde bestaat tot nu laten overeenkomen met één dag, dan neemt de mensheid daarvan slechts één seconde in. Ik wil me niet inlaten met zaken als creationisme en Intelligent Design, maar een ‘hoger ontwerp’ wil ik daarom nog niet afschrijven.’

Volgens Nash zal de speltheorie ook in de toekomst nog nuttig blijken. ‘Eigenlijk is het een heel universele theorie, met vrij vage bewoordingen zoals een ‘spel’ en ‘deelnemers’. Het hangt er gewoon van af wat je daaronder verstaat. Daarom denk ik dat de speltheorie nog vele toepassingen zal vinden in diverse wetenschappelijke domeinen, al is het goed mogelijk dat ze dan niet meer ‘speltheorie’ zal worden genoemd.

Op ons blogportaal Scilogs kan u bovendien een artikel over John Nash lezen van wiskundigen Paul Levrie en Rudi Penne (Universiteit Antwerpen).