Onopgeloste mysteries spreken tot ieders verbeelding, of het nu gaat om de Bermudadriehoek, het monster van Loch Ness of pakweg de verdwijning van Maddie McCann. De fascinatie blijft zelfs aanhouden als het mysterie eigenlijk uit de lucht gegrepen bleek. Neem nu de wereldbekende sciencefictionroman The Hitchhiker's Guide to the Galaxy uit 1979, in het Nederlands vertaald als 'Het transgalactisch liftershandboek'. In deze eerste roman van wat zou uitgroeien tot een vijfdelige reeks schrijft auteur Douglas Adams dat het antwoord op de ultieme vraag van het leven, het universum en alles tweeënveertig is ("The answer to the ultimate question of life, the universe and everything is 42"). Dat heeft een ultrakrachtige computer na meer dan 7,5 miljoen jaar rekenwerk becijferd.

De personages komen tot het besef dat dit antwoord helaas niet erg bruikbaar is omdat de vraag niet duidelijk en precies genoeg werd geformuleerd. Om de concrete vraag te vinden waarop 42 het antwoord is, zegt de computer dat hij een nieuwe versie van zichzelf zal moeten bouwen en dat dit wel wat tijd zal vergen. Deze nieuwe versie van de computer blijkt de aarde te zijn ... en hoe het verder gaat, dat leest u in Adams' boeken.

Deze keuze van de auteur voor het getal 42 is een essentieel onderdeel van geek culture geworden, met tal van grapjes en verwijzingen naar het getal met een vette knipoog. Vraag maar eens aan Google: 'Wat is het antwoord op alles?'. De eerste treffer is meteen 42. Dit antwoord komt ook terug bij andere zoekmachines als Qwant of Wolfram Alpha (gespecialiseerd in wiskundige rekenproblemen), en bij Cleverbot, een intelligente chatrobot.

In Frankrijk is 42 zelfs de naam van een heel netwerk van particuliere instellingen die informaticaopleidingen aanbieden, om jongeren te leren programmeren. Het '42 Network' strekt zich intussen uit tot in Fremont, Californië, in het hartje van Silicon Valley. Het getal 42 komt ook in verschillende vormen voor in de film Spider-Man: Into the Spider-Verse. Een hele lijst van gevallen waar het getal zoal opduikt is te vinden op Wikipedia: zie de Nederlandse pagina voor '42 (getal)', en vooral de Engelse pagina voor '42 (number)'.

Een kleine greep hieruit, waarbij het allicht zinloos is om uit te zoeken wat de betekenis erachter is: 

• In de oude Egyptische mythologie moesten de doden tijdens het zogenaamde 'dodengericht' voor 42 rechters verklaren dat ze geen van de 42 zonden hadden begaan. 
• De lengte van een marathon bedraagt 42 kilometer (42,195 om precies te zijn), wat ongeveer overeenkomt met de afstand die een Griekse boodschapper in 490 voor Christus aflegde toen hij van Marathon naar Athene rende om de overwinning op de Perzen te melden. De exacte afstand kwam in 1908 tot stand bij de Olympische Spelen van Londen.
• Er zouden 42 Tibetaanse keizers zijn geweest in de Yarlung-dynastie. Nyatri Tsenpo, die rond 127 v.Chr. regeerde, was de eerste, en Langdarma, die van 836 tot 842 regeerde, was de laatste (zie Wikipedia-artikel "Lijst van Tibetaanse heersers"). 
• De Gutenbergbijbel, het eerste boek ooit gedrukt in Europa, bevat 42 regels tekst per kolom, en staat dan ook bekend als de 42-regelige bijbel. 

Uiteraard heeft men al aan Douglas Adams zelf gevraagd of het getal 42 voor hem een bijzondere betekenis had toen hij het boek schreef. Zijn antwoord is ontnuchterend: "Ik heb het gewoon gekozen voor de grap. Ik wilde een banaal, vrij klein getal, en dat is het geworden. Binaire voorstellingen, basis 13, Tibetaanse monniken ... allemaal volstrekte nonsens. Ik zat aan mijn bureau, keek even naar buiten, en zei: '42 is goed'. Ik schreef het op. Einde verhaal."

In het binaire systeem, oftewel basis 2, wordt 42 geschreven als 101010, een opvallend eenvoudige reeks. Voor vele fans was dat reden genoeg om een feestje te houden op 10 oktober 2010 (10-10-10). De verwijzing naar basis 13 in het antwoord van Adams heeft dan weer te maken met het feit dat er in het boek op een gegeven moment wordt gezegd dat 42 het antwoord is op de vraag: "Hoeveel is 6 keer 9?". Dat is natuurlijk absurd, want 6 × 9 = 54 ... maar in basis 13 is het getal geschreven als 42 gelijk aan 4 × 13 + 2 = 54. Los van de vele knipogen naar het getal die programmeurs voor de lol in hun werk verstoppen, en ongeacht waar we het getal zoal toevallig tegenkomen als we wat rondneuzen in de wereld of in de geschiedenis, blijft de vraag of 42 ook een bijzonder getal is uit strikt wiskundig oogpunt.

Het getal 42 heeft een aantal interessante wiskundige eigenschappen. Hier zijn er enkele van: 

•  42 is de som van de eerste drie oneven machten van twee (2¹ + 2³ + 2⁵ = 42). De rij a(n) van sommen van oneven machten van 2 is rij A020988 in de encyclopedie van Neil Sloane (https://oeis.org). In basis 2 wordt het n-de element van deze rij geschreven als 1010...10, waarbij "10" n keer wordt herhaald, volgens de formule a(n) = (2/3)(4ⁿ – 1). Naarmate n toeneemt, neigt de dichtheid van deze getallen naar nul, wat betekent dat de getallen in deze rij, waaronder 42, uitzonderlijk zeldzaam zijn. 

•  42 is de som van de eerste twee machten van zes (6¹ + 6² = 42). De rij b(n) van sommen van machten van 6 is rij A105281 in de encyclopedie van Sloane, gedefinieerd door de formules b(0) = 0 en b(n) = 6b(n – 1) + 6. De dichtheid van deze getallen neigt eveneens naar 0 naarmate n stijgt. 

• 42 is ook een Catalan-getal. Deze getallen werden voor het eerst genoemd – zij het onder een andere naam – door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die het aantal verschillende manieren wilde achterhalen om een n-zijdige convexe veelhoek in verschillende driehoeken te snijden door de hoekpunten ervan te verbinden met lijnstukken. Deze rij (A000108 bij Neil Sloane) begint als volgt: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ... De formule c(n) = (2n)!/(n!(n + 1)!) geeft de n-de term van deze rij getallen, waarvan de dichtheid, net als die van de twee voorgaande, nul is op oneindig. 

De getallen in de rij c(n) zijn genoemd naar de Belgisch-Franse wiskundige Eugène Charles Catalan (1814–1894), die ontdekte dat c(n) het aantal manieren is om n paar haakjes te rangschikken volgens de gebruikelijke regels voor het schrijven van haakjes: een haakje wordt nooit gesloten voordat het geopend is, en kan pas gesloten worden als alle later geopende haakjes eerst gesloten zijn. 

Bijvoorbeeld: c(3) = 5, want drie paar haakjes kunnen op vijf manieren geschreven worden: 
((())) ; ()()() ; (())() ; (()()) ; ()(()). De mogelijkheden voor vijf paar haakjes zie je in figuur a.

Het getal c(n) is ook het aantal mogelijke niet-dalende paden om de linkerbenedenhoek te verbinden met de rechterbovenhoek in een n bij n raster waarbij de stijgende diagonaal niet overschreden wordt (Figuur b). Deze eigenschap maakt het mogelijk om de recursieve definitie van de rij van Catalan-getallen te begrijpen c(0) = 1 en c(n+ 1) = Σc(k)c(n – k), met de som genomen over alle k's van 0 tot n. Inderdaad, om alle (toegelaten) paden in een (n+1) bij (n+1) raster op te sommen, beschouwen we voor ieder pad het punt dat het de eerste keer de diagonaal raakt, na het vertrek in de linkerbenedenhoek, en stellen we k gelijk aan het aantal vakjes (horizontaal of verticaal) dat nog rest tot het eindpunt (k = 0,…,n). Merk op dat het eerste stuk een niet-dalend pad is op een (n+1-k) bij (n+1-k)raster dat strikt onder de diagonaal blijft (behalve de eindpunten). Dit eerste stuk blijft dus een legitiem pad wanneer we het eerste stokje en het laatste verticale stokje weglaten en alles een eenheid naar boven schuiven, maar nu getekend in een (n-k) bij (n-k) raster. Hieruit volgt dat het aantal eerste stukken strikt onder de diagonaal gelijk is aan c(n-k). De vervolgstukken passen steeds in een k bij k raster (eventueel de diagonaal rakend), en zijn dus met c(k) in aantal. De combinatie voor al deze mogelijkheden bij een vaste k geeft dus het product c(n-k)c(k). 

• 42 is een ‘praktisch getal’, wat betekent dat elk geheel getal van 1 tot 42 de som is van (verschillende) delers ervan. De eerste praktische getallen zijn: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72 (rij A005153 van Neil Sloane). Er is geen eenvoudige formule voor de n-de term in deze reeks, en de dichtheid van de getallen neigt dit keer niet naar nul op oneindig. 

Dat is allemaal wel leuk en aardig, maar toch kunnen we daarom nog niet stellen dat 42 wiskundig uitzonderlijk is. Buurgetallen 41 en 43 behoren immers ook tot tal van rijen. De eigenschappen van deze en vele andere getallen kunt u erop naslaan op Wikipedia: ga naar nl.wikipedia.org/wiki/42_ (getal) en vervang '42' door het getal waar u meer over wil weten. 

Wat een getal nu juist interessant of banaal maakt, heb ik samen met collega-wiskundigen Nicolas Gauvrit en Hector Zénil bestudeerd. Daarbij zijn we uitgegaan van de rijen opgenomen in de encyclopedie van Neil Sloane. Enerzijds vonden we een theoretisch verband met de Kolmogorov-complexiteit: hoe langer de minimale beschrijving van een getal, hoe complexer (zo valt de tekenreeks ‘ababababababab’ kortweg te omschrijven als ‘7 keer ab’, wat niet gezegd kan worden van de even lange tekenreeks ‘x8r2y39gw5qh7n’, die daarom dus complexer is). Anderzijds hebben we een specifiek cultureel effect aangetoond van de getallen in de encyclopedie van Sloane, wat betekent dat de OEIS dus deels ook gebaseerd is op menselijke voorkeuren en niet louter op zuivere wiskundige objectiviteit.

Computerwetenschappers en wiskundigen kennen de aantrekkingskracht van het getal 42, maar hebben altijd gedacht dat je zulke denkoefeningen eigenlijk met om het even welk ander getal kunt maken. Tot een recent nieuwsbericht hun aandacht trok: voor het getal 42 bleek het bekende vraagstuk van de 'drie derde machten' veel lastiger op te lossen dan voor alle andere getallen onder de 100.

Het vraagstuk luidt als volgt: welke gehele getallen n kunnen worden geschreven als de som van drie derde machten van gehele getallen, volgens de formule n=a³ + b³ + c³, en hoe vind je dan a, b en c? 

De moeilijkheid – ook praktisch, om berekeningen uit te voeren – bij het bepalen van dit trio is dat er ook negatieve gehele getallen bij komen kijken. De ruimte waarbinnen men a, b en c moet gaan zoeken, is dus oneindig. Dat is anders bij de som van kwadraten: daar heeft elk kwadraat een absolute waarde lager dan √n. 

Voor het vraagstuk van de derde machten worden soms onverwacht grote oplossingen gevonden, zoals de oplossing voor 156, ontdekt in 2007: 

156 = 26577110807569³ + (− 18161093358005)³ + (− 23381515025762)³.

Frappant genoeg heeft de vergelijking n = a³ + b³ + c³ voor sommige gehele getallen n géén oplossing. Dat is bijvoorbeeld het geval voor alle gehele getallen n die uitgedrukt kunnen worden als 9m + 4 of 9m + 5 (bv. 4, 5, 13, 14, 22, 23 ...). Deze bewering valt vrij eenvoudig te staven met behulp van de 'modulo 9'-berekening, waarbij men ervan uitgaat dat 9 = 0 en er alleen getallen tussen 0 en 8 of tussen – 4 en + 4 gemanipuleerd worden. 

Dat levert het volgende op: 0³ = 0 (mod 9); 1³ = 1 (mod 9); 2³ = 8 = – 1 (mod 9); 3³ = 27 = 0 (mod 9); 4³  = 64 = 1 (mod 9); 5³ = (– 4)³  =  – 64 = – 1 (mod 9); 6³ = (– 3)³  = 0  (mod 9); 7³  = (– 2)³ = 1 (mod 9); 8³  = (– 1)³ = – 1 (mod 9).

Met andere woorden: in modulo 9 is de derde macht van een geheel getal ofwel – 1 (= 8), ofwel 0, ofwel 1. Dan zijn alle mogelijke sommen van drie getallen gekozen uit 0, 1 en – 1:

0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (– 1); 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (– 1); 2 = 1 + 1 + 0; 3 = 1 + 1 + 1; 6 = – 3 = (– 1) + (– 1) + (– 1); 7 = – 2 = (– 1) + (– 1) + 0; 8 = – 1 = (– 1) + 0 + 0 = 1 + (– 1) + (– 1).

Het resultaat is nooit 4 of 5 (= –4). Bijgevolg is elk getal dat geschreven kan worden als 9m + 4 of 9m + 5 uitgesloten als uitkomst van de som van drie derde machten. Dit noemen we 'verboden waarden'.

Om te illustreren hoe moeilijk het is om de vergelijking n = a³ + b³ + c³ op te lossen, gaan we even na hoe het zit voor n = 1 en n = 2.

Voor n = 1 is er de voor de hand liggende oplossing 1³ + 1³ + (– 1)³ = 1.

Maar dat is niet de enige, want:

9³ + (– 6)³ + (– 8)³ = 729 + (– 216) + (– 512) = 1. 

En in 1936 stelde de Duitse wiskundige Kurt Mahler zelfs een oneindig aantal oplossingen voor. Voor elk geheel getal p: 

(9p4 )³ + (3p − 9p⁴)³ + (1 − 9p³)³ = 1. 

Het resultaat valt te bewijzen via de opmerkelijke identiteit:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³. 

Ook voor n = 2 blijken er oneindig veel oplossingen te zijn, wat in 1908 werd bewezen door de wiskundige A. S. Werebrusov. Voor elk geheel getal p:

(6p³ + 1)³ + (1 − 6p³)³ + (− 6p²)³ = 2.

Door elke term van deze vergelijkingen te vermenigvuldigen met de derde macht van een geheel getal (r³) kunnen we afleiden dat er ook oneindig veel oplossingen zijn voor elke derde macht van een geheel getal én het tweevoud daarvan.

Neem nu het getal 16, twee keer de derde macht van 2. Dat geeft: 14³ + (– 10)³ + (– 12)³ = 16. 

Voor n = 3, daarentegen, waren in augustus 2019 slechts twee oplossingen bekend: 

1³ + 1³ + 1³ = 3   en   4³ + 4³ + (– 5)³ = 3. 

Dan rijst natuurlijk de vraag: is er een oplossing voor alle niet-verboden waarden van n? 

Om op deze vraag te antwoorden, zijn wiskundigen de niet-verboden waarden één voor één gaan bestuderen. Het gaat om rij A060464 van Neil Sloane, die begint met 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, ...  Als geen van de bestudeerde gevallen onmogelijk blijkt, kunnen we redelijkerwijze veronderstellen dat er voor elk geheel getal n dat niet uitgedrukt kan worden als 9m +4 of 9m +5 oplossingen bestaan voor de vergelijking n = a³ + b³ + c³. 

Naarmate de rekenkracht van computers en computernetwerken toeneemt, worden er steeds meer resultaten gevonden voor de getallen in deze rij. En zo komen we weer uit bij dat fameuze, intrigerende getal 42.

In 2009 hebben Andrea-Stephan Elsenhans en Jörg Jahnel, aan de hand van een methode voorgesteld door Noam Elkies in 2000, alle tripletten (a, b en c) met een absolute waarde van maximaal 10¹⁴ onderzocht om oplossingen te zoeken voor waarden van n tussen 1 en 1000. Uit de publicatie van hun bevindingen bleek dat er een oplossing was voor bijna alle getallen lager dan 1000, op veertien getallen na (33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 en 975). 

Van de getallen lager dan 100 bleven er dus slechts drie onopgelost: 33, 42 en 74.

In 2016 vond de Nederlander Sander Huisman een oplossing voor 74: (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³. Toen bleven alleen 33 en 42 nog over. 

En ja hoor, u raadt het al: in maart 2019 maakte Andrew Booker de rekening voor het getal 33: (8866128975287528)³+ (− 8778405442862239)³ + (− 2736111468807040)³. Vanaf dat moment was het getal van Douglas Adams het laatste positieve gehele getal lager dan 100 waarvan niet bekend was of het als de som van drie derde machten van gehele getallen uitgedrukt kon worden. 

Als het antwoord negatief was gebleken, zou dat een goede reden geweest zijn om 42 te zien als 'wiskundig bijzonder' getal: het zou het eerste getal zijn waarvoor een oplossing van deze vergelijking wél mogelijk leek en toch niet gevonden kon worden, hoeveel rekenkracht er ook voor werd ingezet.

Het verlossende antwoord kwam er dan toch in 2020, na een enorme rekeninspanning gecoördineerd door Andrew Booker en Andrew Sutherland van het Massachusetts Institute of Technology. Computers van particulieren die deelnamen aan het Charity Engine-netwerk hadden samen meer dan 1 miljoen uur gerekend, met als resultaat: 

42 = (– 80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

Ook voor 165, 795 en 906 zijn onlangs oplossingen gevonden. Zo blijven van alle gehele getallen lager dan 1000 alleen 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 en 975 onopgelost.

Het vermoeden dat er oplossingen zijn voor alle waarden van n die niet uitgedrukt kunnen worden als 9m + 4 of 9m + 5 lijkt dan ook bevestigd te worden. In 1992 ging Roger Heath-Brown zelfs een stap verder door te stellen dat alle niet-verboden waarden van n op oneindig veel manieren geschreven kunnen worden als de som van drie derde machten. Er is dus nog werk aan de winkel. 

De moeilijkheidsgraad van het probleem is zo enorm dat het vraagstuk "Is n de som van drie derde machten?" mogelijk nooit volledig opgelost raakt. Het zou immers kunnen dat geen enkel algoritme, hoe intelligent ook, ooit alle mogelijke gevallen vindt. Dat is bijvoorbeeld ook het geval bij het 'stopprobleem': kan men aan de hand van de beschrijving van een willekeurig computerprogramma en een gegeven invoer altijd bepalen of het programma uiteindelijk zal stoppen, of voor altijd zal blijven draaien? Alan Turing bewees in 1936 dat een algoritme om het stopprobleem voor alle mogelijke programma-invoerparen op te lossen niet kan bestaan. Maar anders dan het stopprobleem is ons probleem met de derde machten louter wiskundig en eenvoudig te beschrijven. Als iemand het bewijs zou leveren dat deze vergelijking voor een bepaald getal nooit op te lossen valt, dan zou dat groot nieuws zijn.

Het getal 42 mag dan een harde noot geweest zijn om te kraken, het was niet de laatste stap!