Gevaarlijke Reisfysica

We hebben het allemaal wel al eens gedaan op reis; een muntje in een fontein of een wensput gegooid. Voor talloze wensputten bestaan er legenden waarbij de bewoner van de wensput, de wens van de muntjesgooier zal vervullen. Deze legenden vinden hun oorsprong vaak terug in Keltische, Germaanse of Noorse tradities en mythen.

In het geval van de Trevifontein in Rome is de legende vrij specifiek. Indien de munt met de rechter hand over de linker schouder in de fontein wordt geworpen zal de gooier ooit nog terugkeren naar Rome. De bekendheid van de fontein uit menig film zorgt er dan ook voor dat er duchtig met muntjes wordt gegooid—meer dan 1 Miljoen € per jaar, die naar liefdadigheid gaat.

Naast deze vakantielegenden bestaan er ook recentere muntjesmythen: Dood door een vallende penny. Deze mythen zijn gelinkt aan hoge gebouwen (bv. de Eiffeltoren of de Empire State Building) en claimen dat zo een 1-cent muntje met een dodelijke snelheid de grond zou raken wanneer het van de hoogste verdieping naar beneden zou vallen.

Bij de twee soorten muntjeslegenden kun je de baan van het muntje met de wetten van Newton vrij goed beschrijven. De snelheid is laag ten opzichte van de lichtsnelheid en de muntjes zijn groot genoeg dat de wereld van de kwantum mechanica, die het gedrag van individuele atomen en elektronen beschrijft, voor ons verborgen blijft.

De tweede wet van Newton vertelt ons dat de snelheid van een voorwerp verandert als er een kracht op inwerkt. Hier op aarde is de zwaartekracht van de aarde een hoofdrolspeler. Bij het werpen van een muntje in een fontein zal deze ervoor zorgen dat het muntje een nagenoeg paraboolvormige baan gaat beschrijven voor het met een plons in het water terechtkomt. De snelheid waarmee het dit doet zal vergelijkbaar zijn met de snelheid waarmee de werper het losliet bij zijn/haar worp, indien het hoogteverschil met het wateroppervlak niet te groot is.

Maar wat als dat nu wel het geval is, zoals bij het laten vallen van een muntje van een hoge toren? In dat geval laat je het muntje los (geen zetje = beginsnelheid 0) en wordt het door de zwaartekracht naar de grond versneld. We kunnen dan op basis van de vergelijkingen voor een eenparig rechtlijnig versnelde beweging de snelheid bepalen waarmee het muntje de grond raakt:

x = x0 + v0*t + ½ * g * t²

v=v0+g*t

Als we een muntje vanop de 3^e etage van de Eiffeltoren laten vallen (x0=276.13m, x=0m, v0=0 m/s, g=-9.81m/s²) dan weten we uit de eerste vergelijking dat het muntje na 7.5 seconde de grond raakt met een eindsnelheid (uit de tweede vergelijking) van -73.6 m/s (of 265 km/h). Met een snelheid van 265 km/h mag je vrij zeker zijn dat dit muntje wel een indruk zal nalaten. Hetzelfde resultaat zouden we bekomen als we het muntje vervangen door een erwt (gaar of diepgevroren), een bowlingbal, een piano of een aambeeld…maar ook een pluimpje. Op dit moment gaan er waarschijnlijk heel wat alarmbelletjes in je hoofd af, die je vertellen dat we waarschijnlijk iets belangrijks over het hoofd hebben gezien.

De kracht van modellen in de fysica zit in de vereenvoudigingen die het mogelijk maken de onderliggende werking van de natuur te begrijpen. In deze context zijn alle natuurkundige modellen benaderingen van de werkelijkheid en dus per definitie fout wanneer het gaat over de exacte weergave van de werkelijkheid. Dit geldt ook voor de wetten van Newton, en ons simpel model hierboven. Met deze eenvoudige regels kunnen zowel de banen van de planeten om de zon beschreven worden als de baan van het muntje dat we in de Trevifontein gooiden hierboven.

Wat is nu het verschil tussen het muntje op weg naar de Trevifontein en de planeetbanen enerzijds en ons assortiment voorwerpen welke we van de Eiffeltoren naar beneden gooiden, anderzijds?

Wrijving in de vorm van luchtweerstand!

De luchtweerstand geeft aanleiding tot een kracht die tegengesteld gericht is aan de beweging en de volgende vorm heeft:

F_D= ½ *Rho*v²*C_D*A

Deze kracht hangt af van de dichtheid Rho van de middenstof waardoor het voorwerp valt (water heeft een hogere dichtheid dan lucht, dus zal een grotere weerstandskracht veroorzaken), de snelheid v en het oppervlak A in de bewegingsrichting van het voorwerp, en C_D de weerstandscoëfficiënt die afhankelijk is van de vorm van het voorwerp.  

Kijken we terug naar de planeten en de muntworpen dan zien we dat, vanwege de afwezigheid van lucht tussen de planeten, er geen luchtweerstand voor de planetenbanen dient meegerekend te worden. Bij de muntworp in de Trevifontein is er wel luchtweerstand, maar de snelheid en de afgelegde weg zijn te klein om een groot effect te hebben. Dit is wel het geval voor de vallende voorwerpen, waarbij C_D en A de termen zijn die ervoor zorgen dat het aambeeld sneller beneden is dan het pluimpje.

Omdat de kracht ook van de snelheid afhangt kun je niet meer rechtstreeks gebruik maken van de eerste twee vergelijkingen om de valtijd en- snelheid te bepalen, maar dien je numeriek te werk te gaan (ineens ook de hoofdreden waarom dit niet bij de basislessen fysica van het middelbaar gedaan wordt). Met excel bij de hand kom je echter al heel ver in het uitwerken van een numerieke benadering.[Excel voorbeeldje]

Als we weten dat de dichtheid van lucht ongeveer 1.2kg/m³ is, de C_D voor een dunne cilinder (zoals een muntje) 1.17, de straal van een penny 9.5 mm en het gewicht 2.5g, dan wordt de maximale snelheid van een penny 11.1 m/s (40 km/h) en zal het na 25.6 seconden de grond raken. Dit is een heel stuk trager dan voorheen, en ineens ook een heel stuk veiliger. Deze maximale snelheid bereikt het muntje reeds na een 60 m vallen, wat ervoor zorgt dat een penny die van het Atomium (102m), de Eiffeltoren (276.13m, 3^e verdiep, 324m top), de Empire State Building (381m) of zelf de Burj Khalifa (829.8m) naar beneden valt, steeds de grond zal raken met een snelheid van ongeveer 40km/h. Een botsing die we zeker overleven, maar mogelijk wel een blauwe plek aan overhouden.