Jean Bourgain wint nog een 'Nobelprijs voor de Wiskunde'

De ‘Breakthrough Prize’ is een alternatieve Nobelprijs die onder andere door Google-oprichter Sergey Brin en Facebook-oprichter Mark Zuckerbergin het leven is geroepen om uitzonderlijke wetenschappelijke prestatieste bekronen. Jean Bourgain won de prijs voor zijn baanbrekende werk rond de getaltheorie en partiële differentiaalvergelijkingen.

Wie is Jean Bourgain?

Jean Bourgain werd geboren in 1954 in Oostende als zoon van Marguerite Reuse en Réné Bourgain, beiden gereputeerde artsen. De jonge Jean Bourgain begon maar laat te spreken, en ook in het lager onderwijs aan de Oostendse Albertschool zou hij maar laat openbloeien. Maar aan het atheneum van Oostende werd hij ‘ontdekt’ door leraar Emile van Outryve, die het wiskundige universum aan hem openbaarde toen hij vijftien jaar oud was. Na zijn secundaire studies in Oostende, haalde hij snel de graad van doctor in de wiskunde, aan de VUB, en dit op de jonge leeftijd van 23 jaar. Hij maakte zijn proefschrift in zowat één jaar.

Er volgde een eerste internationale prijs, de Salemprijs, in 1983, en in 1985 viel hem een van de hoogste wetenschappelijke prijzen in België te beurt, de Damry-Deleeuw-Bourlart-prijs. Daarna sleepte hij zowat alle andere grote wiskundige prijzen in de wacht. Er was onder andere de Langevinprijs (1985) van de Franse ‘Académie des Sciences’, de erg prestigieuze Cartanprijs (1990, genoemd naar een van de belangrijkste wiskundigen van de vorige eeuw, Elie Cartan), de hoog aangeslagen Ostrowskiprijs (Zwitserland, 1991), de ‘Fields Medal’ (1994), de Shawprijs (2010) en de 'Crafoord Prize' (2012).

Al in 1981 werd hij professor aan de Vrije Universiteit Brussel, waar hij erg graag werkte. Na een verblijf van meer dan dertien jaar aan de VUB, als student, vorser en professor, verliet hij in 1985 de moederuniversiteit. Hij trok naar het ‘Institut des Hautes Études Scientifiques’ (IHES) in Bures-sur-Yvette (Frankrijk), en na enige tijd kwam hier een simultaanbetrekking bij aan de University of Illinois (VS). Het jaar 1988 bracht hij gedeeltelijk door aan de Hebreeuwse Universiteit van Jeruzalem, en 1991 aan het Caltech in de Verenigde Staten, als ‘Fairchild Distinguished Professor’, terwijl hij toch tijd vond voor wetenschappelijke symbioses (sic!) in Bonn, Warschau, Berkeley, Zürich en Leningrad, het huidige Sint-Petersburg.

Uiteindelijk vestigde hij zich, sinds 1994, zelfs nog vóór de Fieldsmedaille zijn prestige vergrootte, aan het ‘Institute for Advanced Study’ in Princeton. Albert Einstein was een van de stichters van de onderzoeksinstelling en het is dan ook niet toevallig dat Bourgains huidig adres aan de ‘Einstein Drive’ ligt. Bourgain bepaalt er zelf zijn salaris, naar zijn eigen inzicht. Hij geeft geen enkele ‘traditionele les’, alleen ‘uiteenzettingen’, en hiervoor doorkruist hij de wereld gedurende zowat de helft van het jaar.

In 2002 zag hij zich bevorderd tot departementshoofd van Einsteins mathematisch nalatenschap. Het gebeurde tot eigen ongenoegen, want op die manier had hij ondanks twee secretariaatsmedewerkers minder tijd voor zijn geliefkoosde wiskunde. Het departement heeft negen topwiskundigen onder zijn dak, waaronder nog één Belg, de Franstalige Pierre Deligne. In Princeton gaat het grapje dat Bourgain ook wiskunde doet in zijn slaap, en Deligne als hij de krant leest – en als ze met elkaar van gedachten wisselen, gaat het over wiskunde, in het Engels. Nog andere Belgen, de al vermelde Elias Stein en ook Ingrid Daubechies, werken aan de Universiteit van Princeton, aan het departement Wiskunde, waar wel werkelijk ‘les’ wordt gegeven.

Wiskunde is geen pretje

Als het leven en de carrière van Jean Bourgain een plezier zijn om te beschrijven, is zijn wiskundig werk andere kost. Bourgain zelf vindt het trouwens fout om de wetenschappelijke activiteit voor te stellen als een ‘feest’ of een ‘pretje’, en vindt wiskunde ‘harde arbeid’. Hij keurt het zelfs af om jongeren voor te houden dat de wiskundige resultaten volgen uit wat vrij en vrolijk spelen met formules, en wellicht heeft hij gelijk, want een groot aantal jongeren laat op latere leeftijd de interesse voor wetenschap varen. Bij campagnes om jongeren te interesseren voor de wiskundige sport moet daarom de bereidheid tot hard trainen duidelijk worden gesteld, vindt hij.

De keuze voor het soort harde arbeid dat hij zou verrichten, kwam bij Bourgain een beetje bij toeval. Zijn allereerste uiteenzetting, in zijn eerste licentie, bracht hem in contact met de Pool Aleksander Pelczynski, die aanwezig was tussen het publiek. Het onderwerp betrof de Banachruimten, genoemd naar de Poolse wiskundige Stefan Banach. In de jaren 1920 was dit een gebied van intense studie, zo sterk zelfs dat er sprake was van een ‘Poolse School’, maar na de Tweede Wereldoorlog bleken de wiskundige erfgenamen niet opgewassen tegen een aantal onopgeloste problemen.

De ‘Franse revolutie’ van Laurent Schwartz en de statenloze Alexander Grothendieck, zijn ‘student’ en voor velen de grootste abstracte geest van de vorige eeuw, bracht hierin verandering. Nieuwe sensationele resultaten volgden, zoals dit van Per Enflo in 1973, en tussen al dit geweld was er ook Jean Bourgain. In het laatste decennium groeide het belang van de theorie van de Banachruimten, onder andere door toepassingen in de computerwetenschappen zoals ‘data compression’, waarin wordt gepoogd gegevens op een efficiënte manier op te slaan.

In de jaren 1980 kreeg Bourgain een erg vruchtbaar resultaat door aan tonen hoe dit verwezenlijkt kan worden in ‘gewone’ euclidische ruimten met verrassend kleine dimensies. Het gebruikelijke platte vlak van het blad papier ervaren we als een ruimte met dimensie twee, en de fysische ruimte rondom ons beelden we ons in met dimensie drie, maar wiskundigen gaan verder en gebruiken dimensies 4, 5, … tot het oneindige toe. Eenvoudig is de veralgemening tot meer dimensies niet, want de meetkunde in de driedimensionale ruimte kan erg misleidend zijn bij uitbreiding naar een hogere dimensie.

Enerzijds treden vreemde pathologische fenomenen op, maar anderzijds worden soms onverwachte structuren zichtbaar. Bijvoorbeeld kon de Portugese wiskundige Luis Santalo een opmerkelijke ongelijkheid opstellen die bepaalde volumes vergeleek met die van een gewone sfeer of bol. Dit gebeurde al zestig jaar geleden, maar hoewel toen Kurt Mahler al het bestaan van een omgekeerde ongelijkheid vermoedde, was het pas in het midden van de jaren 1980 dat Vitali Milman en Bourgain de hypothese konden bewijzen. Ze heeft toepassingen in de getallentheorie (de oorspronkelijke motivatie van Mahler), maar verrassend genoeg ook in de theoretische informatica.

Ergodiciteitstheorie

Daarna dook Bourgain vol dynamisme in de ergodiciteitstheorie. We proberen uit te leggen waar dit over gaat. Wel, een ‘maat’ is een manier om gewichten toe te kennen aan verschillende gebieden in de ruimte. Voorbeelden zijn het volume in de gewone driedimensionale Euclidische ruimte of de waarschijnlijkheid waarmee iets kan gebeuren in de ‘ruimte van gebeurtenissen’, en in dit geval is de grootste maat van een verzameling 1, namelijk de waarschijnlijkheid van de zekere gebeurtenis.

Nu beschrijft een ‘dynamisch’ systeem de verandering van stukjes van de ruimte, zoals wanneer aan een punt herhaaldelijk een wijziging wordt opgelegd, en het resultaat is dan zijn traject of de baan van het punt. Bepaalde dynamische systemen behouden de maat, in die zin dat het beeld van een verzameling door een afbeelding steeds dezelfde maat heeft als in de originele ruimte en het kan dat sommige verzamelingen zelfs niet veranderen (‘invariant’ zijn) en samenvallen met hun beeld.

Zo’n systemen worden ‘conservatief’ genoemd. Een belangrijk voorbeeld wordt gegeven door de vergelijkingen van Kepler, die in de hemelmechanica de beweging van de planeten, kometen of andere lichamen uit ons zonnestelsel beschrijven. Tot op vandaag worden de dynamische eigenschappen van deze beweging niet goed begrepen. Sinds het werk van de Franse wiskundige Henri Poincaré op het einde van de 19de eeuw, is bekend dat de vergelijkingen van Kepler niet exact kunnen worden opgelost, behalve dan natuurlijk in het geval dat een interactie tussen slechts twee lichamen wordt bestudeerd. Welnu, de ergodische theorie wil een alternatief bieden om toe te laten voorspellingen te doen, al zijn die dikwijls maar van kwalitatieve aard.

Het werk van Andrey Nikolaevich Kolmogorov, een van de belangrijkste wiskundigen van de 20ste eeuw, legde bijvoorbeeld uit waarom sommige hemelse bewegingen periodiek moeten zijn, en hij toonde hiermee de vrijmoedige veronderstelling aan die de Franse school van de 18de eeuw met Joseph-Louis Lagrange en Pierre-Simon Laplace had aangenomen. Aan de andere kant begrijpen we nu ook beter waarom een systeem stabiel is of niet, en hoe chaotisch gedrag ontstaat.

Voor ons planetair systeem bijvoorbeeld, weten we tegenwoordig, door precieze numerieke berekeningen met krachtige computers van de vergelijkingen van Kepler, over uiterst lange perioden, dat de buitengordel met Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus heel stabiel is. De binnenste gordel, met behalve onze aarde ook Venus, Mars en Mercurius, is erg onstabiel. Meer in het bijzonder geldt dit voor de laatste binnenplaneet, die binnen ‘afzienbare tijd’ wel eens zou kunnen ‘ontsnappen’ uit het zonnestelsel.

De bron van deze labiele situatie zijn twee wisselwerkingen, één tussen de aarde en Mars, en één tussen Venus en Mercurius en Jupiter. Een groot deel van Bourgains werk gaat precies over het begrijpen van de dynamische systemen met zo’n ‘resonanties’. Een ander voorbeeld van een conservatief systeem, beschreven in een vorige paragraaf, wordt gevormd door de vergelijkingen van Schrödinger, bekend uit de kwantummechanica, en met actuele toepassingen, zoals bij lasers. Hier is een oneindig dimensionale ruimte nodig om de fenomenen te beschrijven, maar toch kon Bourgain in het midden van de jaren negentig aantonen dat de passende ‘invariante maat’, om de hoger gebruikte term te herhalen, reeds bekend was in de natuurkunde, onder de naam ‘maat van Gibbs’.

Bevolkingsaangroei
In de toekomst zullen de Schrödingeroperatoren en hun toepassingen het leven van Bourgain beheersen (en omgekeerd). Hij heeft net een prestigieus boek over dit onderwerp geschreven in de serie ‘Annals of Mathematics Studies’ van de Princeton University Press. De enige twee luidop voorleesbare zinnen vormen het gehele dankwoord, maar toch is het zo dat de beroemde theorieën van Schrödinger toepassingen hebben van de kleinste atomen tot verste reuzensterren.

Dit zal Bourgain evenwel niet beletten in andere domeinen belangwekkende resultaten te boeken, soms bij wijze van vermaak, als zijn blik erop valt, zoals eens gebeurde met zijn charmante resultaat over rekenkundige reeksen. Iedereen kent de wet van Malthus, die als eerste de dramatische gevolgen van een bevolkingsaangroei beschreef met de bewering dat een voedselvoorraad groeit volgens een rekenkundige rij, maar de bevolking aangroeit volgens een meetkundige rij. De getallen 3, 5, 7, … vormen een rekenkundige rij, maar 3, 6, 12, … een meetkundige. De eerste geeft trouwens een rij met lengte 3 van priemgetallen (9 is natuurlijk geen priemgetal want het is deelbaar door 3), en men kan zich afvragen of er langere rekenkundige rijen van priemgetallen bestaan. Meer algemeen is de vraag of er in willekeurig groepjes van getallen wel rekenkundig rijen bestaan (met al of niet priemgetallen), van een bepaalde lengte.

Deze vraag klinkt zo algemeen dat een zinnig antwoord ondenkbaar lijkt. Toch kon Jean Bourgain in 1990 aantonen dat sommen van getallen uit willekeurige verzamelingen C en D met getallen van 1, 2, 3 … tot ergens een getal N, steeds een rekenkundige rij moeten hebben van lengte eb 3√log N, waarbij het getal b er enkel van afhangt hoe dicht de getallen in C en D bij elkaar liggen. De ‘log’ en e = 2,71828… verwijzen naar de natuurlijke logaritmen, en deze laatste symbolen staan als afzonderlijke knopjes op elke rekenmachine die zichzelf respecteert (log x = y wil zeggen ey=x). Ian Levitt stelde dat ‘het resultaat belangwekkend is, en meer nog het bewijs ervan, maar Bourgains zes pagina’s van wiskundige precisie zijn ondoordringbaar voor mijn deductievermogen’ . Hij gaf daarom een ander bewijs op de dag dat Bourgain zelf de bevolking deed aangroeien, namelijk op 28 februari, zijn verjaardag.

Deze biografie verscheen eerder in Eos magazine, nummer 3 (2006)