Voor mensen die (al dan niet in het geniep) enorm kunnen genieten van wiskunde, van puzzels, van raadsels, zijn er sinds maart 2016 in Vlaanderen nieuwe mogelijkheden om zich te outen. Elke voorlaatste dinsdag van de maand wordt er namelijk op verschillende plaatsen een Mathsjam gehouden.
Lezers van EOS hebben het vast al gemerkt: meer en meer van de puzzels achteraan het tijdschrift zijn afkomstig van de MathsJam die maandelijks plaatsvindt in Antwerpen, en die wij (de auteurs van deze blog) mee vorm proberen te geven.
Het fenomeen MathsJam, dat sinds 2008 bestaat, werd in het leven geroepen door de Australische standup Mathematician Matt Parker, auteur van het fantastische boek:
Matt Parker, Things to make and do in the fourth dimension, Particular Books, London (2014) 455 pagina's.
De ondertitel van dit boek is A Mathematician's Journey Through Narcissistic Numbers, Optimal Dating Algorithms, at Least Two Kinds of Infinity, and More. Het gaat ook over hoe je een pizza kan verdelen, hoe je met dominostenen een computer kan maken, maar je komt er evengoed het Basel-probleem van Euler, en de Riemann-zetafunctie tegen.Parker laat zien hoe leuk wiskunde wel is, op zijn eigen unieke manier.
Een aanrader.
Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο
Een van de raadsels in het boek is het volgende:
Puzzel 1. Grootmoeder heeft een vierkante taart gebakken, en wil die eerlijk verdelen over haar negen kleinkinderen. Hoe gaat ze te werk?
Puzzel 2. Grootmoeder heeft een vierkant taart gemaakt, met bovenop en aan de zijkant chocoladebeslag. Ze wil die eerlijk verdelen over haar negen kleinkinderen, zodat die elk evenveel chocolade hebben. Hoe gaat ze te werk?
De eerste MathsJam in Vlaanderen was in Gent, opgestart door Lieven Scheire, in maart 2016. Deze werd op de voet gevolgd in mei door die van Antwerpen, en sinds oktober vind je er ook een in Leuven (maar die ligt er nu even uit). De eerste MathsJam in London in 2008 ging door in een pub. Het was een informele bijeenkomst van wiskundeleraars, studenten van de universiteiten, academici en mensen uit de industrie die het leuk vonden over wiskunde te praten op café. Sindsdien zijn er MathsJams in cafés in een heleboel steden in de hele wereld: neem even een kijkje op de MathsJam-website. Hier zie je een sfeerbeeld van de MathsJam in Antwerpen (een beetje onscherp om de privacy van de deelnemers te garanderen;-):
Het oplossen van puzzels en raadsels staat centraal. Hier is er eentje:
Puzzel 3. In het kasteel van de prinses zijn er 4 slaapkamers die naast elkaar liggen. Elke nacht kiest de prinses een kamer om in te slapen, maar ze moet de volgende nacht steeds in een aanliggende kamer slapen. De eerste nacht mag ze eender waar slapen. De prins zou om duidelijke redenen graag in dezelfde kamer slapen als de prinses, maar ze wil hem niet zeggen waar zij ligt. De prins mag elke nacht een kamer kiezen om te zien of de prinses daar ook is. Als ze er is, dan is de prins gelukkig. Als niet, dan kan hij de volgende nacht opnieuw proberen.
Is er een strategie die de prins kan volgen om zeker te zijn dat ze op een nacht verenigd worden?
Dit raadsel biedt vele mogelijkheden tot uitbreiding, en er zijn open problemen. Hier vind je meer.
In Antwerpen wordt het puzzelen afgewisseld met nanolezingen over een of ander onderwerp gerelateerd met de puzzels van de avond, en met een "verkiezing van ...". Bijvoorbeeld bij het volgende raadsel:
Puzzel 4. Het Josephusprobleem: gegeven $n$ personen, genummerd 1 t/m $n$, die in een cirkel staan. Elimineer, tellend vanaf nummer 1, telkens elke tweede persoon, totdat er nog maar 1 overblijft. Bepaal wie deze overlevende is.
... hoorde de volgende nanolezing.
Hier zie je een voorbeeld van de beginsituatie voor $n=13$:
In dit geval blijft persoon 11 over. Ga dit zelf even na.
Het crue antwoord voor gegeven $n$ is dit: zoek de grootste macht van 2 die in $n$ zit, stel dat die gelijk is aan $2^m$, en schrijf $n$
$$n=2^m+r.$$
De oplossing is: de persoon op positie $2r+1$ blijft over.
Dus voor gegeven n vinden we met één druk op de knop: $2r+1$.
Wat experimenteren leert je al snel dat de eenvoudigste gevallen die zijn waar n zelf een macht is van 2. We illustreren dit hier grafisch voor $n=2$, $n=4$ en $n=8$, waarbij we niet de cirkelopstelling gebruiken, maar de personen gewoon naast elkaar plaatsen en veronderstellen dat als je in de figuur helemaal rechts bent gekomen, dat je dan links verdergaat. Voor $n=2$ gebeurt er dit
en persoon 1 blijft over. Voor $n=4$ gaat het zo:
en zo komen we weer uit bij het geval $n=2$ waarvan we weten dat persoon 1 overblijft. Dit is $n=8$:
Dit wordt na een ronde herleid tot $n=4$, en het is nu duidelijk dat voor een macht van 2 telkens de eerste persoon overblijft. Merk op dat dit overeenkomt met wat we vooropgesteld hebben:
$n=2^m+0 ⇒ 2⋅0+1$ blijft over.
Kijken we nu even naar het geval $n=13$, waarmee we kunnen laten zien wat je moet doen om het algemene geval te `bewijzen':
Hier hebben we $n=2^3+5$ (dus $r=5$). We laten de eerste $r$ eliminaties gebeuren:
zodat het aantal personen dat nu nog overblijft een macht van 2 is. We hernummeren nu de overblijvers, waarbij we nummer 1 toekennen aan de eerste persoon die nu aan zet is:
Het gaat om persoon 11 (of $2r+1$, na het elimineren van $2,4,6,…,2r$). Bij de 8 laatste weten we uit het vorige precies wat er gebeurt bij de eliminaties: de eerste blijft over! En dit is wat we wilden aantonen.
En omdat MathsJams draaien rond wiskundige raadsels, zullen we eindigen met een puzzelboek. Meer bepaald het definitieve boek met problemen op een schaakbord. Dit is er zo een: wissel de zwarte en de witte paarden om.
Je vindt de oplossing hier.
Verder vind je er alles over paardenrondgangen en dominantie (bijvoorbeeld met koninginnen)-problemen, en de problemen worden ook veralgemeend van 2d naar 3d: hoe gaat het op een torus, of op een fles van Klein?
Het boek heeft al een zekere leeftijd, en is ondertussen ook al in het Nederlands vertaald.
John J. Watkins, Across the board. The Mathematics of chessboard problems: paradoxes, perplexities & mathematical conundrums for the serious head scratcher, Princeton University Press, New Jersey (2004) 257 pagina's.
Voor de kaft van het boek werd een (onmogelijk) kunstwerk van de Hongaarse kunstenaar Istvan Orosz gebruikt, waardoor ik deze versie verkies boven de Nederlandstalige. Naast de hierboven genoemde onderwerpen vind je in dit boek bijvoorbeeld ook hoofdstukken over magische vierkanten, Eulervierkanten en polyominos. Geen gemakkelijk boek, maar wel een must-have voor de liefhebber.
Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο
