Het begrip 'infinitesimaal' is een dure term voor 'bijna niets', maar heeft veel betekend voor de wiskunde.
Wiskunde levert niet alleen hersenkrakers op, maar ook tongbrekers. Neem nu het woord ‘infinitesimaal’, dat oneindig klein betekent. Het is een dure term voor ‘bijna niets’. Mij is dit begrip zeer dierbaar, want het speelt een centrale rol in mijn onderzoek. Bovendien werd het woord bedacht door mijn favoriete geleerde aller tijden: de Duitse wiskundige en filosoof Gottfried Leibniz.
Als je één deelt door duizend dan krijg je een duizendste. De uitgang -ste geeft in het Nederlands aan dat je de stambreuk neemt. In het middeleeuwse Latijn gebruik je daarvoor de uitgang -esimalis. Ons woord ‘decimaal’ komt bijvoorbeeld van het Latijnse woord voor ‘tiende’ (decimalis). Leibniz plakte deze uitgang aan het Latijnse woord voor oneindig (infinitus) en verkreeg zo: infinitesimalis. In diverse talen werd dit woord overgenomen, met een lichtjes aangepaste uitgang. In het Nederlands werd het infinitesimaal. Een infinitesimaal is dus letterlijk ‘een oneindigste’.
Leibniz leefde van 1646 tot 1716. Net als zijn tijdgenoot Isaac Newton werkte hij aan een wiskundige theorie die we nu nog altijd onderwijzen en volop toepassen in de natuur- en ingenieurswetenschappen. Hoewel Leibniz zijn werk als eerste publiceerde, geloofde Newton niet dat hij zijn resultaten op eigen kracht had gevonden. Newton betichtte Leibniz ervan dat hij had afgekeken uit zijn ongepubliceerde werk.
Het prioriteitsdispuut ging over de infinitesimaalrekening, die we tegenwoordig differentiaal- en integraalrekening noemen. Een integraal kan je gebruiken om de oppervlakte onder een kromme te berekenen. De oppervlakte van een rechthoek berekenen is eenvoudig (lengte maal breedte), maar hoe doe je dat bij een kromme? Het idee is dat als je maar sterk genoeg op een kromme ‘inzoomt’, deze lokaal (over een infinitesimaal stukje) wel recht is. Door de oppervlakte van oneindig veel smalle stroken op te tellen kan je de oppervlakte onder een kromme berekenen. Deze oneindige som noemen we de integraal.
De infinitesimaal van Leibniz en Newton was briljant, ook al slaagden ze er zelf niet in om het begrip op een rigoureuze manier in de wiskunde in te voeren
Briljant idee, maar er zit een addertje onder het gras. Hoewel hun intuïtieve ideeën wiskundig zeer vruchtbaar waren, slaagden Leibniz en Newton er namelijk niet in het begrip infinitesimaal zelf op een rigoureuze manier in de wiskunde in te voeren. Later heeft Karl Weierstrass hier een mouw aan gepast: hij stelde een strikte definitie op van het limietbegrip. Zijn definitie steunt erop dat je voor ieder positief reëel getal een kleiner positief reëel getal kan vinden. Op die manier omzeilde hij de nood aan oneindig kleine getallen.
Pas in de jaren 1960 slaagde iemand erin om het begrip infinitesimaal in de oorspronkelijke betekenis van Leibniz op een wiskundig strikte manier in te voeren. Dat was de wiskundige Abraham Robinson. Zijn theorie heet de niet-standaard analyse: ze voegt oneindig kleine en oneindig grote getallen toe aan de gewone reële getallen en geeft regels om met deze getallen te rekenen. Het oorspronkelijke werk van Robinson is zeer complex. Gelukkig hebben andere wiskundigen het vertaald in cursussen die in principe toegankelijk zijn voor middelbare scholieren. In Italië hebben ze hier al proefprojecten mee gedaan in scholen.
Voor fysici biedt de niet-standaard analyse een heel natuurlijke aanpak. Zij zijn het namelijk gewend om in termen van infinitesimalen te denken. Tot Robinson zijn theorie ontwikkelde was die manier strikt genomen fout. Vreemd genoeg leidden de ‘foute’ methodes van vroegere wiskundigen en latere fysici toch tot juiste uitkomsten. Nu begrijpen we hoe dat mogelijk is: de methodes volgen de regels van de niet-standaard analyse, een theorie die wiskundig net zo juist is als de standaard differentiaal- en integraalrekening, maar pas veel later is ontwikkeld.
Deze geschiedenis roept de vraag op of onze wiskunde er ook anders uit had kunnen zien. Aan de ene kant zien we dat Newton en Leibniz hun versie van de infinitesimaalrekening ongeveer gelijktijdig ontwikkeld hebben. Dat suggereert dat de huidige wiskunde er hoe dan ook wel was gekomen. Aan de andere kant zien we dat wiskundigen soms begrippen of intuïties weren, omdat ze onterecht denken dat er geen goede definitie voor bestaat. Dat suggereert dan weer dat de wiskunde die we nu kennen een piepklein deel is van alle alternatieve mogelijkheden – misschien slechts een infinitesimaal.
