In 2020 was al bewezen dat er binnen de klasse van de zogenaamde delicate priemgetallen ook priemgetallen terug te vinden zijn die breed-delicaat zijn. En in 2021 ontdekten twee onderzoekers van de University of South Carolina dat die breed-delicate priemgetallen ‘slechts’ even eenzaam zijn als gewone priemgetallen. En dat in tijden van quarantaine.
Even opfrissen: priemgetallen zijn enkel deelbaar door één en door zichzelf. Ze spelen een hoofdrol in de discrete wiskunde, misschien wel de elegantste tak van de wiskunde. Maar ze doen ook en masse hun werk in vele courante technologieën, zoals cryptografie. Delicate priemgetallen zijn priemgetallen die door een omschakeling van eender welk cijfer niet langer priemgetal zijn. Ze zijn dus wel priemgetal, maar tegelijk zijn ze ‘kwetsbaar’. Eender welke schrijffout, in en naar gelijk welk cijfer, maakt hen immers niet-priem. Het luistert nauw.
Neem bijvoorbeeld het getal 294.001. Een delicaat priemgetal? Jazeker, want elke vetgedrukte schrijffout in de onderstaande serie is ‘dodelijk’ en maakt het niet-priem:
094001, 194001, 394001, 494001, 594001, 694001, 794001, 894001, 994001
204001, 214001, 224001, 234001, 244001, 254001, 264001, 274001, 284001
290001, 291001, 292001, 293001, 295001, 296001, 297001, 298001, 299001
294101, 294201, 294301, 294401, 294501, 294601, 294701, 294801, 294901
294011, 294021, 294031, 294041, 294051, 294061, 294071, 294081, 294091
294000, 294002, 294003, 294004, 294005, 294006, 294007, 294008, 294009
Zijn deze priemgetallen dan zeldzaam? Ze zijn zeker zeldzamer dan de ‘gewone’ varianten. Maar alles welbeschouwd valt het wel mee. 294.001 is de kleinste, gevolgd door 505.447, 584.141, 604.171, en 971.767. En boven een miljoen zijn er nog veel meer, oneindig veel zelfs. Ter vergelijking: van de gewone priemgetallen hebben we er meteen al 25 die kleiner zijn dan honderd, en 78.498 die kleiner zijn dan een miljoen. Dus toch wat dunner gezaaid, die delicate.Hoe zit het dan met die breed-delicate getallen?
Elk getal kun je met of zonder leidende nullen noteren. 294001 of 0294001 of 00294001: het kan allemaal. Eind 2020 is bewezen dat er ook priemgetallen bestaan met deze bijzondere eigenschap: hoeveel nullen je er ook voor zet, toch blijven ze delicaat. Straf, toch? Klein detail: er is er zo nog geen enkel gevonden. Maar het is dus wel bewezen dat er priemgetallen bestaan waar je onbeperkt nullen voor mag zetten en waarvan je toch geen enkel cijfer verkeerd mag overpennen, of ze worden niet-priem.
‘Er bestaan priemgetallen waar je onbeperkt nullen voor mag zetten en waarvan je toch geen enkel cijfer verkeerd mag overpennen, of ze worden niet-priem’
En als we het nu over eenzaamheid gaan hebben? Met zijn internationale bestseller, De eenzaamheid van de priemgetallen, toont de Italiaanse romanschrijver Paolo Giordano dat het grote publiek wel degelijk wakker ligt van priemgetallen. En dat het eenzame aspect van deze bijzondere hoeveelheden ons als mens niet onberoerd laat. Giordano heeft het in zijn roman over priemtweelingen, en hoe ze de eenzaamheid van de priemgetallen illustreren: ‘Alleen en verloren, vlak bij elkaar, maar niet dicht genoeg om elkaar echt aan te raken’.
Wat Giordano schrijft klopt inderdaad. Als je hogerop klimt in de toren van de priemgetallen zal je nooit twee priemgetallen vinden vlak boven elkaar. Ze zijn altijd gescheiden door minstens één verdieping tussenin. Die heten dan priemtweelingen, zoals 3 en 5, of 5 en 7. En vergis je niet, 2 en 3 raken elkaar wel, en (3, 5, 7) is zelfs een priemdrieling. Maar daarmee is het ook gedaan. Want behalve 2 en 3 zijn er geen priemgetallen die elkaar raken, en op (3, 5, 7) na zijn er geen priemdrielingen. Het is dus bijzonder eenzaam op deze toren.
Nu het goede nieuws van 2021: de breed-delicate priemgetallen, hoe zeldzaam ook, zijn eigenlijk niet eenzamer dan de gewone. Want ze komen in hele reeksen van twee, drie of zelfs een onbeperkt aantal van opeenvolgende priemgetallen. Niet per se als priemtweelingen, maar toch vlak bij elkaar in de priemgetallenreeks. Er zijn dus reeksen van twee breed-delicate priemgetallen. En ook reeksen van drie. Enzovoort. Al bij al zijn deze getallen niet eenzamer dan de gewone priemgetallen, ze zijn gewoon een beetje alleen en verloren, vlak bij elkaar, maar niet dicht genoeg om elkaar echt aan te raken.
En er is nog meer goed nieuws. Als deze gewone sterveling het goed begrepen heeft, dan hebben de beautiful nerds achter deze ontdekking nog werk voor de boeg. Zoeken naar een eerste breed-delicaat priemgetal, bijvoorbeeld, en nagaan wat het precies is. Verder kunnen ze zich afvragen of ook breed-delicate priemtweelingen bestaan, en of ze met veel zijn? Met die onzekerheden kunnen we voorlopig leven, want over priemtweelingen weten we sowieso weinig. Behalve dat ze eenzaam zijn. Wiskundigen denken dat het er oneindig veel zijn, maar zeker is dat niet. Misschien iets voor 2022?
