Gelukkige palindroomdag! De datum van vandaag (12/02/2021) is een palindroomgetal, ook wel een Sjeherazadegetal genoemd naar de Perzische vertelster van de verhalen uit 1001 Nachten. Op deze 'palindroomdag' praten wiskundebloggers Rudi Penne en Paul Levrie je bij over die bijzondere getallen.
Iemand met een perfect symmetrisch gezicht en met een perfectionistische kapper is niet te onderscheiden van zijn spiegelbeeld. Je zou haar of hem een palindroom-mens kunnen noemen. Palindromen zijn dus identiek aan hun spiegelbeeld. Ze leveren ons ook taalkundige pret, zoals bijvoorbeeld bij
Baas, neem een racecar, neem een Saab
of, in het Engels:
A man, a plan, a canal: Panama
waarbij we de volgorde van de letters spiegelen, maar niet de letters zelf, en waarbij we leestekens en spaties negeren.
Zo zou je 12/02/2021 een palindroomdag kunnen noemen, omdat we ieder excuus voor een feestje omarmen, meer dan ooit. Deze datum is een voorbeeld van een palindroomgetal, ook wel een Sjeherazadegetal genoemd naar de Perzische vertelster van de verhalen uit 1001 Nachten. De vorige palindroomdag (02/02/2020) was weliswaar universeler, want hij werd zowel in de Europese als in de Amerikaanse datumvoorstelling gevierd. We kijken ook al uit naar 15 mei van dit jaar, een perfecte digitale palindroomdag, ook al is dit geen Sjeherazadegetal.
Op het eerste zicht lijken palindroomgetallen eerder een saai onderwerp, gemakkelijk te verzinnen (bijvoorbeeld 123454321), dus niet echt de moeite om te bestuderen. Ze horen thuis in de zogenaamde Recreatieve Wiskunde, eerder dan in de Getalheorie. De spiegeleigenschap geeft immers geen intrinsieke getalinformatie, want is afhankelijk van de voorstelling van dit getal. Bijvoorbeeld, duizend en één is 1001011111 in binaire schrijfwijze. Maar toch, af en toe, doet iemand een wonderbaarlijke ontdekking in het sprookje van de Sjeherazadegetallen.
Zo werd in 2016 bewezen dat elk getal te schrijven is als de som van ten hoogste 3 palindromen. Bijvoorbeeld:
2021 = 202 + 1001 + 818.
Dit verbeterde een vorig resultaat uit 2015 dat stelde dat elk getal de som is van hoogstens 49 palindromen.
Sommig spiegeleigenschappen lijken dan weer gezocht in een ander melkwegstelsel, maar zijn daarom niet minder prettig (afhankelijk van je nerd-coëfficiënt). Zo kunnen we ons bijvoorbeeld (vooral dit jaar) laten verrassen door de spiegelkwadraten 2021 en 1202. Deze getallen zijn elkaars spiegelbeeld, maar dit geldt ook voor hun kwadraten: $2021^2 = 4084441$ en $1202^2 = 1444804$.
Of wie kan een glinstering in de ogen onderdrukken wanneer het personage Sheldon uit de serie The Big Bang Theory in de 73ste episode bekent dat 73 zijn lievelingsgetal is. Nu is 73 wel geen palindroom, maar het is het 21ste priemgetal, terwijl zijn spiegelbeeld 37 het 12de priemgetal is, en 12 is dan weer het spiegelbeeld van 21. Een getal met deze hallucinante eigenschap wordt sindsdien een Sheldongetal genoemd. In 2018 werd formeel bewezen dat 73 het enige Sheldongetal is.
Veel gekker moet het niet worden, hoor ik jullie denken. Maar lees toch nog even verder. In 1938 introduceerde de bekende Amerikaanse wiskundige D.H. Lehmer in het Belgische tijdschrift Sphinx, Revue Mensuelle des Questions Récréatives, de volgende procedure om te palindromiseren. Tel bij een getal zijn spiegelbeeld op, en doe met het resultaat hetzelfde, tot je een palindroom krijgt. Bijvoorbeeld: 63 + 36 = 99. Soms duurt het iets langer. Neem bijvoorbeeld 78:
78 + 87 = 165 → +561 = 726 → +627 = 1353 → +3531 = 4884.
Dit is goed nieuws voor vele niet-palindromen, want ze blijken dan toch een palindroom in zich te hebben. Deze ontpopping duurt gewoonlijk niet lang, en is een ideale manier om aan de toog – toen dit nog kon – indruk te maken:
In ons 10-tallig stelsel eindigen ongeveer 80% van alle getallen in een palindroom na hoogstens vier iteraties, ongeveer 90% na hoogstens zeven iteraties.
Maar om een of andere reden (we weten niet waarom) vertonen sommige getallen een “uitstelgedrag”. Kijk bijvoorbeeld naar 89:
89→ 187 → 968 → 1837 → 9218 → 17347 → 91718 → 173437 → 907808→ 1716517 → 8872688 → 17735476 → 85189247 → 159487405 → 664272356 → 1317544822 → 3602001953 → 7193004016 → 13297007933 → 47267087164 → 93445163438 → 176881317877 → 955594506548 → 1801200002107→ 8813200023188 = palindroom!
De huidige recordhouder in uitstelgedrag bestaat uit 23 cijfers: 12000700000025339936491,
en heeft 288 iteraties nodig (ontdekt op 26 april 2019).
We kunnen nu niet anders dan het getal 196 te berde te brengen. Lehmer had met de hand al 73 iteraties berekend voor 196, en begon te twijfelen of er ooit een palindroom bereikt zou worden. Nu weten we, als we het vorige record bekijken, dat Lehmer iets te snel zijn conclusies trok. Maar anderzijds hebben wij gemakkelijk praten met onze computers. Toch geeft onze huidige rekenkracht evenmin uitsluitsel. In 2006 is Wade VanLandingham gestopt met zijn 196-project na 750 miljoen iteraties. Nog steeds geen palindroom. Wellicht zal 196 eeuwig weerstand bieden, maar bewezen hebben we het (nog) niet.
VanLandingham heeft een naam geïntroduceerd voor getallen met oneindig uitstelgedrag, namelijk Lychrelgetallen, een anagram van zijn vriendin Cheryll (ondertussen zijn vrouw: ze was zo blij dat hij die getallen naar haar had genoemd, dat ze `ja’ zei). Hij en wij denken dat 196 het kleinste Lychrelgetal is, maar op dit moment bestaat er geen enkele wiskundige garantie dat Lychrelgetallen hoe dan ook bestaan.
