Om een Ramseygetal te vinden, bracht hij twee takken van de wiskunde bijeen die elkaar normaal niet tegenkomen. Mattheus verwacht dat zijn manier van werken de wiskunde kan veranderen: ‘Zoeken naar iets wat er niet is, is contra-intuïtief. Dat moeten ook wiskundigen nog leren.’
Luister ook naar de podcast met laureaat Sam Mattheus. Die vind je onderaan dit artikel, of in je favoriete podcast-app zoals op Spotify.
Sam Mattheus combineerde voor zijn oplossing de combinatieleer en de eindige meetkunde. Meetkundigen, zoals hij, kenden de oplossing voor het probleem al een halve eeuw, ze wisten alleen niet dat het de oplossing was. ‘We hebben niks moeten uitvinden. Alle deeltjes waren er al, zoals ingrediënten, we moesten enkel twee recepten bijeenbrengen.’
Om te begrijpen wat een Ramseygetal is, denk je best aan netwerken. Je kan het hebben over feesten en recepties, en die voeren wiskundedocenten dikwijls als voorbeeld op. Sam Mattheus begint onmiddellijk over Facebook. ‘Het punt is: eigenlijk werkt onze methode het best voor die écht grote netwerken.’ Discrete structuren – want dat zijn zulke sociale netwerken, wiskundig bekeken toch – hebben bijna onvermijdelijk de eigenschap dat er deelstructuren in zitten als ze heel groot worden.
‘Wiskunde heeft de charmante eigenschap dat onderzoek van vandaag over vijftig of honderd jaar relevant wordt’
Facebook ziet er misschien heel willekeurig uit. ‘Maar als je er met een brede blik naar kijkt, ga je deelstructuren zien. Kliekjes van twintig mensen die allemaal met elkaar bevriend zijn of honderd mensen die elkaar niet kennen. Chaos is onmogelijk.’ Frank Ramsey ontdekte het fenomeen van die kliekjes begin vorige eeuw. Maar als je je nu afvraagt hoe groot je netwerk moet zijn om automatisch kliekjes van vijf vrienden of twintig vreemden te zien, ga je nog even geduld moeten hebben voor een antwoord.
Het Ramseygetal r (s, t) is de grootste hoeveelheid mensen die je netwerk kan hebben vooraleer je een kliekje van s bekenden of t vreemden krijgt. Wiskundigen konden maar enkele van de kleinste Ramsey-getallen berekenen. Begin jaren 1980 toonden onderzoekers aan dat r (3, 9) = 36, en in 1995 bewezen ze dat r (4, 5) = 25. Je kan dus een feestje organiseren met 24 mensen waarvan sommigen elkaar kennen, zonder een groepje te krijgen van vier vrienden of vijf vreemden. Voeg één persoon toe en je creëert minstens een van deze kliekjes.
Maar r (3, 10) is nog niet berekend, evenmin als r (4, 6). ‘Het is gigantisch moeilijk om die getallen exact te berekenen’, vertelt Mattheus. ‘Wiskundigen proberen dus een schatting te maken door boven- en ondergrenzen te bepalen voor die waarden.’
Opgevouwen
Zelfs dat loopt niet van een leien dakje. ‘Ik heb r (4, t) onderzocht. We schatten hoe groot het netwerk moet zijn in functie van t, om altijd vier vrienden of t vreemden te zien. Die vraag was open sinds 1935.’ Veel wiskundigen hadden al veel geprobeerd, maar r (4, t) bleek een lastige kwestie. ‘Het resultaat was een groot gat tussen wat het getal minstens moet zijn en wat het ten hoogste kan zijn.’
Dat gat heeft Mattheus veel kleiner gemaakt. ‘Wiskundigen dachten dat willekeurige netwerken goed konden aantonen dat er geen groepjes van vier vrienden of t vreemden bestonden. Stel je dat voor als kop of munt gooien voor de relatie tussen elke twee gebruikers van Facebook.’ Negentig jaar lang probeerden ze zo om de boven- en de ondergrens dichter bij elkaar te brengen. Mattheus en zijn collega’s ontdekten dat willekeur je misschien ver brengt, maar dat voor r (4, t) afgelijnde structuren beter zijn.
‘Mijn achtergrond ligt bij de exacte structuren, in de eindige meetkunde. Dat gaat dus over punten en rechten.’ Je kan het verschil tussen beide manieren volgens de wiskundige vergelijken met een koffer pakken om op reis te gaan. ‘Als je er alles in propt, gaat ze waarschijnlijk wel toe als je duwt. Als je de spullen opvouwt, kan je veel efficiënter pakken.’
‘Mijn coauteur, Jacques Verstraete van UC San Diego, vroeg zich af of er een exacte structuur met eigenschappen A, B en C bestond die de oplossing voor het probleem kon betekenen. Dat is waar mijn tak van de wiskunde, de eindige meetkunde, goed in is: structuren vinden die aan bepaalde eigenschappen voldoen.’
Mattheus kende dus zo’n voorbeeld, de Hermitische unitaal. Dat is een verzameling punten en rechten die geen vier snijdende rechten met zes snijpunten bevat. ‘Als je vier snijdende rechten neemt, heb je typisch zes snijpunten. Het feit dat zich dat niet voordoet, is bijna een mirakel.’ Het was nog niet helemaal wat Verstraete nodig had. ‘Het heeft bloed, zweet en tranen gekost om te geraken waar we wilden zijn.’ Maar die exacte structuur van punten en rechten bleek wel het hoofdingrediënt van het recept.
Op zoek naar iets wat er niet is
Het nieuwe bewijs lost dus niet alleen een probleem op dat al decennia niet vooruitgaat, het wijst ook de weg om andere Ramseyproblemen in de toekomst aan te pakken. Denkt Mattheus dat er binnenkort nog oude vraagstukken opgelost geraken met grafen en eindige meetkunde? ‘Ik hoop van wel, maar het is niet omdat wij deze oplossing gevonden hebben, dat het nu vanzelf gaat.’
‘Die constructie met die vier rechten kenden we al heel lang, die is al bestudeerd vijftig jaar geleden. Maar als je nu vijf rechten zoekt… dat heeft nog niemand gezien.’ Volgens de wiskundige gaat het ook tegen de intuïtie van de mens in, zoeken naar iets wat er niet is. ‘Als je een dier bestudeert, ga je kijken naar wat dat dier kan, niet naar wat het niet kan. Nu moeten we dus anders nadenken.’
Typisch vragen mensen aan wiskundigen waarvoor hun werk nu eigenlijk dient. Sam Mattheus is er eerlijk in. ‘Het leven van alledag gaat hierdoor niet veranderen.’ De grenzen van de wetenschap verleggen is natuurlijk ook mooi. En Mattheus gelooft dat zijn onderzoek mettertijd wel praktisch nut zal hebben. ‘Wiskunde heeft de charmante eigenschap dat onderzoek van vandaag over vijftig of honderd jaar relevant wordt.’
Hij begrijpt de afkeer van veel mensen voor wiskunde niet en hij vindt het jammer dat die bestaat. ‘In andere landen is dat niet zo. Het is dus een soort cultureel fenomeen.’ Wel denkt hij dat je achtergrond in wiskunde nodig hebt om de elegantie en de schoonheid ervan te zien. ‘Als je naar een museum gaat, hoef je een schilderij niet te begrijpen om het mooi te vinden. Bij wiskunde is dat anders.’
Bio
Op zijn achttiende wist Sam Mattheus (1993) nog niet of hij burgerlijk ingenieur of wiskundige wilde worden. Een vraag over auto’s in bochten deed hem de knoop doorhakken. Hij studeerde in Gent, doctoreerde aan de VUB en ging daarna naar San Diego (VS). Nu werkt hij weer in België. Voorlopig bevalt het hem prima in het onderzoek, maar misschien gaat hij wel helemaal iets anders doen als hij het beu is om te zoeken naar dingen die er niet zijn.
