Wat gebeurde er in 2019 op wiskundig hypervlak?

Dit jaar viel pi-dag op 14 maart, of 3/14 zoals de Amerikanen het zeggen. “Dit is toch ieder jaar op die dag?”, horen we jullie hardop denken. Inderdaad, maar wiskundigen halen toch telkens opgelucht adem, want het is niet ondenkbaar dat deze bekende afronding van π ≈ 3,14 op een dag als fake news bestempeld wordt, al was het maar om de metingen rond de klimaatopwarming te relativeren m.b.v. een kleinere waarde voor π. In november 2019 heeft Unesco de veertiende maart officieel als de Internationale Dag van de Wiskunde uitgeroepen. Trouwens, op 14/03/2019 werd het Platform Wiskunde Vlaanderen opgericht, dat zich tot hiertoe ondergronds voorbereid heeft en zich in 2020 voluit zal tonen.

In juli 2019 publiceerde Andrew Booker een artikel waarin hij de volgende vondst bekend maakte:

33 = 8866128975287528³ + (−8778405442862239)³ + (−2736111468807040)³

Wat is hier zo bijzonder aan? Niets, om eerlijk te zijn, toch wat bijna iedereen betreft. Maar stel even dat je een wiskundige bent, en dat je de neiging hebt om een natuurlijk getal te schrijven als de som van drie derdemachten. Bijvoorbeeld, 36 schrijf je dan als 36 = 1³ + 2³ + 3³. Je mag hierbij ook de derdemacht van 0 gebruiken: 8 = 2³ + 0³ + 0³, en ook derdemachten van negatieve getallen. Een moeilijker voorbeeld is:

16 = 1626³ + (−1609)³ + (−511)³.

Dit vraagstuk ontstond in 1954, en het werd al snel bewezen dat een negenvoud plus 4 of een negenvoud plus 5 nooit gelijk is aan de som van drie derdemachten. Alle andere getallen wel? Dat weten we (nog) niet. Maar het is geen slecht idee om het alvast voor de getallen tot 100 na te gaan.

Wie denkt dat dit even snel kan gebeuren met een computer, onderschat het probleem. Vooral de getallen 33 en 42 bleken moeilijk te kraken. Om 33 als som van drie derdemachten te schrijven had Booker zowel wiskundige technieken als een computernetwerk nodig (een enkele computer zou bijna 8 jaar gerekend hebben).

Toen bleef nog enkel het mysterie van 42 over (hoe kon het anders, het cultgetal van alle nerds ter wereld). Samen met Sutherland kon Booker in september 2019 uiteindelijk het volgende resultaat publiceren:

42 = (−80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³.

Over priemgetallen is al lang geweten dat ze oneindig in aantal zijn, maar dat ze steeds dunner gezaaid zijn als het aantal cijfers toeneemt. Bij ieder nieuw gevonden grootste priemgetal valt te verwachten dat het volgende priemgetal nog verder ligt dan de afstand tot het vorige. Maar toch duikt onverwachts af en toe een koppel priemgetallen op dat vlak bij elkaar ligt. Een priemtweeling is een koppel priemgetallen met een verschil van 2 (zoals 17 en 19). Men vermoedt dat er zo oneindig veel koppels zijn. Men denkt zelfs dat voor ieder even getal k er oneindig veel priemkoppels zijn met hun verschil gelijk aan k. Maar bewijzen kan men dit (nog) niet. Wonderkind Terence Tao heeft hierin voorlop de grootste vordering geboekt door aan te tonen dat er oneindig veel priemkoppels zijn met een verschil ten hoogste 246.

Op 7 september maakten Will Sawin en Mark Shusterman hun oplossing openbaar van het priemtweelingenvermoeden, weliswaar in het kader van “veeltermen met coëfficiënten in eindige getalstructuren”. Ook al hebben we in de vorige zin de wiskundige terminologie op het randje van correctheid vereenvoudigd, begrijpen we dat een beetje duiding niet overbodig is. Vooreerst merken we op dat Getaltheorie een van de oudste maar ook puurste vormen van wiskunde is. In eerste instantie bestuderen we hier de gehele getallen, bijvoorbeeld hun deelbaarheidseigenschappen. Priemgetallen spelen hierin een fundamentele rol, omdat ze niet ontbonden kunnen als een echt product van twee andere getallen. Een ander wiskundig concept, de veeltermen, vertonen verrassend veel gelijkenissen met de gehele getallen. Zo kan je bijvoorbeeld in beide contexten een Euclidische deling (of “staartdeling”) uitvoeren. Als coëfficiënten van deze veeltermen kan je rationale getallen nemen, maar evengoed een eindige getalstructuur zoals bijvoorbeeld binaire getallen. En het is in het laatste gebied dat Sawin en Shusterman hun resultaat bewezen, een stelling die analoog is met het priemtweelingenvermoeden (bij “gewone getallen”).

Op 10 augustus (met een update op 2 december) verscheen op ArXiv.org zowaar een nieuw resultaat over een grijsgeschreven onderwerp in iedere cursus over Lineaire Algebra, namelijk over eigenvectoren en eigenwaarden. Bovendien bleek het een basiseigenschap waarvan het ongelooflijk is dat wiskundigen het tot nu toe over het hoofd gezien hadden, zo fundamenteel als de titel zelf van het artikel: Eigenvectors from eigenvalues. Dit verhaal begint wanneer Terence Tao (zie hierboven) in begin augustus een e-mail krijgt van drie natuurkundigen waarvan hij nog nooit gehoord had: Xining Zhang, Peter Denton en Stephen Parke. Zij bestuderen de propagatie van neutrinos doorheen materie en hebben hiervoor eigenvectoren van bepaalde matrices nodig. Deze eigenvectoren zijn in dit geval veel moeilijker te berekenen dan eigenwaarden. Maar deze zomer ontdekten ze een formule die de coördinaten van de eigenvectoren oplevert a.h.v. eigenwaarden (zie hieronder; eigenlijk berekent de formule de moduli van deze coördinaten, maar dit volstond voor hen omdat ze met Hermitische matrices werken). Omdat de eigenschap zo basis is, geloofden ze niet dat ze nieuw was, en om dezelfde reden geloofde Tao niet dat ze waar was. Maar nog geen dag later had Tao twee verschillende bewijzen gefabriceerd, en twee dagen later was het artikel een feit en traden drie relatief onbekende natuurkundigen als coauteurs op van een van de grootste wiskundigen van deze tijd.

Op 19 maart werd de jaarlijkse Abelprijs, zeg maar de Nobelprijs voor de Wiskunde, uitgereikt in de Noorse hoofdstad Oslo. Voor de eerste maal in de (nog relatief korte) geschiedenis van de prijs, werd een vrouw uitgeroepen als laureaat: Karen Uhlenbeck. Ze kreeg de prijs voor “haar baanbrekende prestaties in geometrische partiële differentiaalvergelijkingen, ijktheorie en integreerbare systemen, de fundamentele impact van haar werk op analyse, geometrie en wiskundige fysica”.

In 1941 publiceerden R.J. Duffin en A.C. Schaeffer een belangrijk vermoeden in getaltheorie over het benaderen van irrationale getallen, zijnde getallen die je niet als een breuk kan schrijven. Ze waren echter niet in staat om hun vermoeden te bewijzen, en het bleef een beroemd open probleem in de wiskunde. Dimitris Koukoulopoulos en James Maynard maakten op 10 juli een einde aan het lijden van vele getaltheoretici, en konden het vermoeden bewijzen. Het bewijs, dat zo’n 45 pagina’s telt, wordt momenteel nog onderzocht op fouten (wat niet eenvoudig is, want het bevat veel moeilijke en technische details), maar de algemene eerste indruk in de wiskundige gemeenschap is wel dat het er goed uitziet.

Dat niet elk oud wiskundig vermoeden bewezen wordt, en dus kan worden omgezet in een stelling, werd duidelijk op 6 mei. Ruim 50 jaar waren wiskundigen op zoek naar een bewijs voor het vermoeden van Hedetniemi uit 1966 (over hoeveel kleuren er minimaal nodig zijn om ingewikkelde netwerken in te kleuren), aangezien men er van overtuigd was dat het vermoeden waar was. Dat deze zoektocht tevergeefs was, toonde de Russische wiskunde Yaroslav Shitov aan door een relatief eenvoudig tegenvoorbeeld van het vermoeden te construeren.